八皇后问题（回溯算法）笔记

Posted 2022-12-11 是渣渣呀

八皇后问题（回溯算法）

基本介绍

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于
1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即： 任意两个皇后都不能处于同一行 、
同一列或同一斜线上，问有多少种摆法(92)。

算法思想与图解

1. 第一个皇后先放第一行第一列
2. 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都
   放完，找到一个合适
3. 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确
   解
4. 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，
   全部得到.
5. 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤

说明：

理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] =
0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3 //对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1
行的第 val+1 列

代码实现

public class Queen8 
    //定义一个 max 表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    //定义数组 array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = 0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;

    public static void main(String[] args) 
        //测试一把 ， 8 皇后是否正确
        Queen8 queen8 = new Queen8();
        queen8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d 解法", count);
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d 次", judgeCount); // 1.5w
    

    //编写一个方法，放置第 n 个皇后
    //特别注意： check 是 每一次递归时，进入到 check 中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
    private void check(int n)
        if (n == max)//n = 8 时, 其实 8 个皇后（0-7）就已经放好
            print();
            return;
        

        //依次放入皇后，并判断是否冲突
        for (int i = 0; i < max; i++) 
            //先把当前这个皇后 n , 放到该行的第 i(0-7) 列
            array[n] = i;
            //判断当放置第 n 个皇后到 i 列时，是否冲突
            if (judge(n)) // 不冲突
                //接着放 n+1 个皇后,即开始递归
                check(n+1);
            

            //如果冲突了，其实我们不用写别的语句， 因为for循环里 i 会++，
            // 所以下层循环就继续执行 array[n] =i; 即将第 n 个皇后，放置在本行的 后移的一个位置
            // 举例： 假如第 n(1) 个皇后 第 i(0) 个位置冲突，
            // 则i++（即i变成了1）后执行array[1] = i(1)然后继续判断 。。
        
    

    //查看当我们放置第 n 个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突

    /**
     *
     * @param n 表示第几个皇后
     * @return
     */
    private boolean judge(int n)
        judgeCount++;
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            // 说明
            //1. array[i] == array[n] 表示判断 第 n 个皇后是否和前面的 n-1 个皇后在同一列
            //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第 n 个皇后是否和第 i 皇后是否在同一斜线
            //      n = 1 放置第 2 列 1 n = 1 array[1] = 1
            //      Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
            //3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]))
                return false;
            
        
        return true; //说明不冲突
    

    //写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
    private void print()
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) 
            System.out.print(array[i]+" ");
        
        System.out.println();
    

运行结果

0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92 解法一共判断冲突的次数15720 次