[CF989D]A Shade of Moonlight:几何+二分答案+玄学的思路

Posted 2020-11-19 kuriyamamirai

题意：

一条一维数轴上，有n个左端点为xi，长度l的区间。以向右为正方向，第i个区间的移动速度为vi+w（vi=1或-1，|w|<=wmax，所有区间的w相同）。

输入n，l，wmax，vi。

输出无序数对（i，j）的个数，使第i个区间和第j个区间有一个合法的w的取值，在某一时刻同时覆盖原点（不包括区间左、右边界）。

（n<=1e5）

思路：

因为w的取值是不定的，所以可以看成是每个区间以vi的速度运动，而原点以-w的速度运动。

很容易画出一个时间-位置图像（横轴位置，纵轴时间），其中橙色区域为原点在对应时间可能的位置。

可以发现，只要第i个和第j个区间所相交形成的斜正方形与橙色区域有公共部分，则说明（i，j）是我们要求的一个无序数对。

很显然只要考虑斜正方形最上面的顶点即可。

那么可以将v=1和v=-1的区间分开，给v=-1的区间排序。

然后对每一个v=1的区间二分查找一个x最小的v=-1的区间，使其相交的斜正方形区域与橙色区域有交集，统计答案即可。

完了。

记得开long long。

代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cmath>
 6 #include <algorithm>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long LL;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 const int SIZE=100005;
16 int n,l,w,ans,ch;
17 int lf[SIZE],rt[SIZE],lnt,rnt;
18 bool check(int mid){
19     mid=lf[mid]+l;
20     double h=(double)(mid-ch)/2;//斜正方形最上面的顶点的纵坐标。 
21     if(h>fabs((double)(mid+ch)/(2.0*w))) return 1;
22     else return 0;
23 }
24 void bisearch(int l,int r){
25     if(l>r) return;
26     int mid=((l+r)>>1);
27     if(check(mid)){
28         ans=mid;
29         bisearch(mid+1,r);
30     }
31     else bisearch(l,mid-1);
32 }
33 bool cmp(int x,int y){
34     return x>y;
35 }
36 int main(){
37     n=read(),l=read(),w=read();
38     for(int i=1;i<=n;i++){
39         int x=read(),v=read();
40         if(v==1) rt[++rnt]=x;
41         else lf[++lnt]=x;
42     }
43     sort(lf+1,lf+lnt+1,cmp);
44     LL rez=0;
45     for(int i=1;i<=rnt;i++){
46         ans=0;
47         ch=rt[i];//ch存当前正在查询的v=1的区间的左边界。 
48         bisearch(1,lnt);
49         rez+=ans;
50     }
51     printf("%I64d
",rez);
52     return 0;
53 }