《算法竞赛中的初等数论》正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

Posted 2022-12-07 繁凡さん

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写在最前面：本文部分内容来自网上各大博客或是各类图书，由我个人整理，增加些许见解，仅做学习交流使用，无任何商业用途。因个人实力时间等原因，本文并非完全原创，请大家见谅。

目录

• 《算法竞赛中的初等数论》（五）正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）
• 0x50 筛法
• • 0x51 线性筛法
  • • 0x51.1 线性筛法求欧拉函数
    • 0x51.2 线性筛求莫比乌斯函数
    • 0x51.3 线性筛求约数个数函数
    • 0x51.4 线性筛求约数和函数
  • 0x52 杜教筛
  • • 0x52.1 杜教筛
    • 0x52.2 求欧拉函数前缀和
    • 0x52.3 求莫比乌斯函数前缀和
  • 0x53 Min_25筛
  • 0x54 洲阁筛

《算法竞赛中的初等数论》（五）正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）

《算法竞赛中的初等数论》（信奥 / 数竞 / ACM）前言、后记、目录索引（十五万字符的数论书）

全文目录索引链接： https://fanfansann.blog.csdn.net/article/details/113765056

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0x50 筛法

0x51 线性筛法

在上面筛质数的时候，我们讲解了如何使用线性筛线性地筛出 $1,\cdots ,n$ 中的所有质数。

每次只用一个数用小于当前这个数最小质因子的质数去筛其他数，即保证每个合数 $i\times p_j$ 只都被自己的最小质因子 $p_j$ 筛掉一遍，所以复杂度保证是 $O(n)$ 的。

我们知道，凡是积性函数，均可由线性筛法来求解。

0x51.1 线性筛法求欧拉函数

我们注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉，筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子，这是线性筛求欧拉函数的关键。

1. 考虑 $n=p_j^k$， $\phi (n)$

显然有 $\phi (p_j^k)=p_j^k-p_j^{k-1}=p_j^{k-1}\times (p_j-1)$

2. 考虑 $n=i\times p_j$，$\phi (n)$，当 $p_j\mid i$

即 $i$ 含有因子 $p_j$，由于 $i=\frac{n}{p_j}$ 即 $i$ 拥有 $n$ 的所有质因子，由唯一分解定理及欧拉函数计算式得：

$$\begin{array}{rlr}\phi (n)& =n\times \prod _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}& \\ & =p_1\times n^{\prime }\times \prod _{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}& \\ & =p_1\times \phi (n^{\prime })& \end{array}$$
3. 考虑 $n=i\times p_j$，$\phi (n)$，当 $p_j\nmid i$

即 $i$ 与 $p_j$ 互质，积性函数显然有性质：

$$\begin{array}{rlr}\phi (n)& =\phi (i)\times \phi (p_j)& \\ & =\phi (i)\times (p_j-1)& \end{array}$$

由于我们仅在在线性筛的框架上增加了一些细节，所以时间复杂度依然是 $O(n)$ 的。

Code

void get_euler(int n)

    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++ i) 
        if(!vis[i]) 
            primes[ ++ cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        
        for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) 
            vis[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0) //最小的质因子
                phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        
    

0x51.2 线性筛求莫比乌斯函数

同样考虑三种情况即可。

1. 考虑 $n=p_j^k$， $\mu (n)$

显然有

$\mu (p_j)=-1$

$\mu (p_j^k)=0,k>1$

2. 考虑 $n=i\times p_j$， μ ( n ) \\mu(n) μ(n)<