光学 Optics

Posted 2022-12-06 myjs999

前置课程：振动与波，高中光学

引入

光是一种横波。光沿一个方向传播时，其振动可以分解为两个正交的方向的简谐振动，这两个方向都与传播方向正交。

由于两个方向振动的相位差固定，在非偏振章节，我们可以认为光的振动相当于一个简谐振动。记这个简谐振动为$E=A_0\cos (\omega x+\phi )$。光的光强是振幅的平方，记为$I=A^2$（$A$也就是$E$）。

当两束光相遇时，会产生振幅的叠加。设两束光的相位差是$\delta$，它们合成的光强遵循这个式子：$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\delta )$。由一个点光源发出的光的相位是在极短时间内迅速改变的。因此，两个不同的点光源发出的光相遇时，相位差$\delta$在迅速地跃变，跃变频率比探测器探测的频率还要高。探测器会给出探测时间内的平均值，因此这种情况下，$\cos (\delta )$会取$\delta$为任意值的平均值，即$0$。即此时$I=I_1+I_2$。称这种叠加为非相干叠加。如果是同一个光源发出的光，经过分光后再相遇，那么虽然初始相位在不断跃变，但相位差却是恒定的。因此光强并不是两束光光强的简单叠加。称这种情形为相干叠加。

光在真空中的传播速度是$c$。设光在某一介质中的传播速度是$v$，则这一介质的折射率$n=\frac{c}{v}$。显然真空的折射率是$1$（空气的折射率近似为$1$），除此以外的介质折射率都大于$1$。记光的波长为$\lambda$。

设光在折射率为$n$的介质中传播了$l$的距离，则称光传播了光程$L=nl$。光程的意义是相同时间内光在真空中传播的距离。

菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射

设想有一个点光源S在一条直线上（称这条直线为光轴）。在光轴上放置一个挖了圆洞的无限大的纸板，圆洞的圆心在光轴上，称这个圆洞为圆孔。P是光轴上的收到S经圆孔射来的光的一点。称P为场点。考虑P点的光强。

设纸板平面到P的距离为$b$。纸板平面上到P点距离为$b+k\cdot \frac{\lambda }{2}(k=0,1,2,\cdots )$的点构成一个圈，称这个圈为k-半波圈。称k-半波圈和(k+1)-半波圈在纸板平面上围出的区域为k-半波带。圆孔射到P点的光可以分解为通过圆孔内每个半波带的光的和。

S点到每个半波带的光程近似为S点到圆孔圆心的距离，记为$R$。S到P的每一束光的光程即为$R+b+k\cdot \frac{\lambda }{2}$，$k$是它通过的半波带。因此相邻两个半波带的光的光程差是$\frac{\lambda }{2}$，即相位差是$\pi$。相位差是$\pi$的两个振幅的符号是相反的。即k-半波带在P点造成的振幅为$A_k$，则总振幅$A=A_0+A_1+A_2+\cdots$。根据菲涅尔衍射定律，随着纸板上的点与P的连线和光轴的夹角增大，振幅会乘上一个缓慢减小的系数$f$，在0-半波带这个系数是$1$，在∞-半波带这个系数是$0$。

对于圆孔衍射，$A=A_0+A_1+\cdots +A_m$，m-半波带是圆孔内最外层的半波带。由于系数$f$减小得很慢，可以认为$A_0$和$A_1$相抵消，$A_2$和$A_3$相抵消，以此类推。因此最终若$m$是奇数，则P点光强接近$0$，是暗点。若$m$是偶数，则P点振幅接近$A_0$，是亮点。

若$m\to \infty$，则$A_m\to 0$，此时P点振幅$A=\frac{1}{2}{A}_0$，是亮点。这就是圆孔无限大，也就是没有纸板遮挡的情况，称为自由传播。

考虑在光轴上放一个圆形纸板，圆心在光轴上，以这个为遮挡物，这种衍射称为圆屏衍射。根据刚才所讲述的，$A=A_m+A_{m+1}+\cdots$，$m$是圆屏外的第一个半波带。这种情况最终$A=\frac{1}{2}{A}_m$，是亮点。也就是说无论圆屏多大，P点总是亮的。