方程组线性化方法和牛顿迭代法基础

Posted 2022-12-01 haoming Hu

方程组线性化方法和牛顿迭代法基础

非线性方程组线性化和牛顿迭代法

• 参考书籍：GPS原理与接收机设计 谢钢

非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数等等。求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题。

一元函数的线性化和牛顿迭代

设f(x)是一个非线性方程组，现在需要求解f(x)=0的根，并且以及有一个近似解xk-1，f(x)连续可导，那么将f(x)在xk-1这一点进行泰勒展开可以得到：
$f(x)\approx f\left(x_{k-1}\right)+f^{\prime }\left(x_{k-1}\right)\cdot \left(x-x_{k-1}\right)$

此时求解的方程组就变为了：$f\left(x_{k-1}\right)+f^{\prime }\left(x_{k-1}\right)\cdot \left(x-x_{k-1}\right)=0$ 此时方程变成了一个线性方程。如果一阶导数不等于0，那么可以使用牛顿迭代法进行更新新的近似解xk
$x_k=x_{k-1}-\frac{f\left(x_{k-1}\right)}{f^{\prime }\left(x_{k-1}\right)}$

将泰勒公式一阶方程近似为一个线性方程式，可得到一个迭代公式(注意敛散性和导数不为0的条件)

经过以上分析，就算是没有初始近似解，也可以从0开始迭代，经过多次迭代可以回到真实解附近。

matlab代码示例：

%% MATLAB 牛顿迭代（一元）
syms a                %定义函数变量
f(a) = a^(3/2) + 2^a - 24;  %方程式（其待求解为4）
df(a) = diff(f(a),a);       %对其一阶求导
%% 牛顿迭代
x(1) = 0;         %迭代赋初值
dt(1) = 1;        %迭代增量初值，任意值大于迭代停止条件即可
ii = 1; 
while abs(dt(ii))>1e-3   %牛顿迭代，当增量小于1E-3停止迭代
    ii = ii + 1;
    dt(ii) = - f(x(ii-1))/df(x(ii-1));
    x(ii) = x(ii-1) + dt(ii);
end
%% 绘图
figure
plot(x)
xlabel('\\fontname宋体\\fontsize10迭代次数');
ylabel('\\fontname宋体\\fontsize10迭代值');
grid on

rtklib中牛顿迭代法的使用

求偏近点角Ek

求取卫星信号发射时刻偏近点角𝐸𝑘，首先令𝐸𝑘=𝑀𝑘作为迭代初值，当$\left|E_k-E_{k-1}\right|<10^{-12}\mid$时结束迭代，e从卫星星历中获取, 迭代公式：$E_k=M_k+e\ast sin{E}_{k-1}$

/*所在函数 eph2pos*/
/*sqrt(mu/(eph->A*eph->A*eph->A)是课本中的式3.36的n，用于计算卫星的平均角速度
 * M=eph->M0+(sqrt(mu/(eph->A*eph->A*eph->A))+eph->deln)*tk;是用来计算平近点角M，
 * 如式3.53所示 Mk=M0+nTk，也可以认为是式3-37表示的 Mk=n(t-t0)*/
  M=eph->M0+(sqrt(mu/(eph->A*eph->A*eph->A))+eph->deln)*tk;
/*计算偏近点角 E时采用的是牛顿法来进行迭代求解
*  Ek=E; E-=(E-eph->e*sin(E)-M)/(1.0-eph->e*cos(E)); 这一行代码就是牛顿迭代法
*  如课本中的式5.5 Xk = Xk-1 - (f/f')
*  Ek=E;：更新本次迭代并保存
*  E-=(E-eph->e*sin(E)-M)/(1.0-eph->e*cos(E)->e*cos(E))]
*  这里的迭代起始值是M，但是并不影响，因为经过大概三次迭代之后很快就会到达真实值附近，
*  默认是30次迭代，误差在1E-13以内
*/ 
for (n=0,E=M,Ek=0.0;fabs(E-Ek)>RTOL_KEPLER&&n<MAX_ITER_KEPLER;n++) 
    Ek=E; E-=(E-eph->e*sin(E)-M)/(1.0-eph->e*cos(E));

多元非线性方程组的牛顿迭代法求解方法

参考连接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/337392826

/最后更新时间：2022年11月4日10:28:49/