2020牛客暑期多校第六场 A-African Sort

Posted 2022-11-30 ZLTJohn

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分析

很显然，排列里形成的多个环肯定是每个环单独做。
现在问题是对于一个环要怎么确定排序策略。
如果每个数都要被涉及排序一次，那么可想而知，分开sort应该会比一起sort更糟糕，大胆猜想尝试。
现在random_shuffle之后会得到新的排列，里面会形成一些小环，设大小为a[1~k]，那么环大小变得更小了。
设f[n]表示大小为n的环的期望代价。
$$f[n]=\sum _{a[]}(p(a[])\ast \sum _{i}f[a_i])$$
把概率化成频率
$$f[n]=\sum _{a[]}(\frac{n(a[])}{n!}\ast \sum _{i}f[a_i])$$
这里求n(a[])很麻烦。我们可以单独考虑涉及a[i]的方案数有多少。进一步，单独考虑涉及a[i]=k的方案数有多少。
$$f[n]=\sum _{i=2...n}{C}_n^i(n-i)!(i-1)!f[i]$$
(i-1)!就是i个数形成一个环的方案数，这个可以通过递推，每次环里加入一个元素看出来。
化简之后得
$$(1-1/n)f[n]=n+\sum _{i=2..n-1}\frac{f[i]}{i}$$
O(n)预处理出，直接算每个case的答案。

代码

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=1e5+5,M=2e7+5,mo=998244353,W=29;

//线性求每个数的逆元。求模p意义下的1~n的逆元 
int irev[N];
void irev_predo(int n,int p)

	int i;
	irev[1]=1;
	fo(i,2,n)
	
		irev[i]=-(ll)(p/i)*irev[p%i]%p;
		if (irev[i]<0) irev[i]+=p; 
	

ll f[N],g[N],coef,ans;
int n,m,i,j,vis[N],a[N],cnt,x;
void predo(int n)

	f[1]=0;
	g[1]=0;
	fo(i,2,n)
	
		f[i]=(g[i-1]+i)*i%mo*irev[i-1]%mo; 
		g[i]=(g[i-1]+f[i]*irev[i])%mo;
	

int main()

	freopen("A.in","r",stdin);
	//freopen("K.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&n,&m);
	irev_predo(n,mo);
	predo(n);
	fo(i,1,m)
	
		fo(j,1,n) scanf("%d",a+j);
		ans=0;
		fo(j,1,n)
		if (vis[j]!=i)
		
			x=j;
			cnt=0;
			while (vis[x]!=i)
			
				vis[x]=i;
				x=a[x];
				cnt++;
			
			ans=(ans+f[cnt])%mo;
		
		printf("%lld\\n",(ans+mo)%mo);