大数定律与中心极限定理

Posted 2022-11-28 会思考的浣熊

第五章 大数定律与中心极限定理

一、车比雪夫不等式

定理 设 $X$ 为随机变量，且存在有限的 $DX$，则对 $\\forall \\varepsilon > 0$ ，有

$$P\\ |X-EX| \\geqslant \\varepsilon \\ \\leqslant \\fracDX(\\varepsilon)^2 \\quad \\text或 \\quad P\\ |X-EX| > \\varepsilon \\ \\geqslant 1 - \\fracDX(\\varepsilon)^2$$

---

二、大数定律

定理1 车比雪夫大数定律
设 $X_1, X_2, \\cdots, X_n$ 相互独立且存在 $c > 0$ 使得 $DX_i \\leqslant c (i = 1, 2, \\cdots)$，则对任意的 $\\varepsilon > 0$，有

$$\\lim_n \\to \\infty P\\ | \\frac1n\\sum_i=1^nX_i - \\frac1n \\sum_i=1^n EX_i | < \\varepsilon\\ = 1$$

定理2 独立同分布的大数定律
设 $X_1, X_2, \\cdots, X_n$ 相互独立同分布且 $EX_i = \\mu$， $DX_i = \\sigma^2(i=1,2,\\cdots)$，则对 $\\forall \\varepsilon > 0$，有

$$\\lim_n \\to \\infty P\\ |\\frac1n\\sum_i=1^n X_i - \\mu| < \\varepsilon \\ = 1$$

定理3 辛钦大数定律
设 $X_1, X_2, \\cdots, X_n$ 相互独立同分布且 $EX_i = \\mu$，则对 $\\forall \\varepsilon > 0$，有

$$\\lim_n \\to \\infty P\\ |\\frac1n\\sum_i=1^n X_i - \\mu| < \\varepsilon \\ = 1$$

所有大数定律都是指在随机变量组在独立的条件下，若干个随机变量的平均值依概率收敛到其数学期望的平均值，即

1n∑i=1nXi以上是关于大数定律与中心极限定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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