Matlab数学建模微分方程求解导弹问题

Posted 2022-11-28 九死九歌

  设位于坐标原点的甲舰向位于$x$轴上点$A(1,0)$处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度$v_0$（$v_0$是常数）沿平行于$y$轴的直线行驶，导弹的速度是$5v_0$，求导弹运行的曲线，乙舰行驶多远时，导弹会将它击中？

  我们设在时刻为t时，导弹的位置是$P(x(t),y(t))$，乙舰的位置是$Q(1,v_{0}t)$

  易知，在t时刻时：
$$\begin{gathered} y\prime =\frac{v_{0}t-y}{x-1} \\ 即：v_{0}t=(1-x)y\prime +y\cdots \cdots (1) \end{gathered}$$

  另外，由于弧$OP$的长度是$|AQ|$的五倍，所以：

$${\int }_0^x\sqrt{1+y{\prime }^2}dx=5v_{0}t\cdots \cdots (2)$$

  联立(1)(2)两式，可得：
$$y\prime \prime =\frac{\sqrt{1+y{\prime }^2}}{5(1-x)}$$

于是就能编写出代码

f = @(x, y) [
	y(2)
	0.2 * sqrt(1 + y(1) ^ 2) / (1 - x)
	];

[x, y] = ode15s(f, [0, 0.999], [0, 0]);
plot(x, y(:, 1), [1, 1], [0, 2]);
axis([0, 1, 0, 1]);