瓶颈生成树与最小生成树关系的证明

Posted 2022-11-28 出尘呢

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定义无向图G，G的瓶颈生成树是一棵 “ 树上最大边权值 edge 在G的所有生成树中最小 ” 的生成树，这样的生成树可能不止一棵。瓶颈生成树的值为树上最大边权值 edge
最小生成树是瓶颈生成树的充分不必要条件。
命题：最小生成树一定是瓶颈生成树。
证明：可以采用反证法予以证明。
假设最小生成树不是瓶颈树，设最小生成树T的最大权边为e，则存在一棵瓶颈树Tb，其所有的边的权值小于w(e)。删除T中的e，形成两棵树T’, T’’，用Tb中连接T’, T’'的边连接这两棵树，得到新的生成树，其权值小于T，与T是最小生成树矛盾。 [1]
命题：瓶颈生成树不一定是最小生成树。
下面是一个反例：
由红色边组成的生成树是一棵瓶颈树，但并非最小生成树。