codeforce#dp专项

Posted 2022-11-27 iuk11

写在之前，题单来自jackyan

1 https://codeforces.com/problemset/problem/467/C

【题意】给定一个长度为n的序列，找到k个长度为m的子串（不是子序列），求能得到的每个子串相加后的最大值。特别，子串下标不能重复且不能交叉 。
$i$ 表示下标
$j$ 表示子串个数
不新增子串，那最大值与上一次的状态相同；
新增子串，那最大值为以当前下标 $i$ 结尾的 $[i-m+1,i]$ 长度的子串，自然$dp[i-m][j-1]$为不增加这个子串的最大值，然后再用前缀和加上该区间的值。
两种情况比较取最大（注意第二种情况 $i$ 的取值范围）
$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-m][j-1]+b[i]-b[i-m]$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5050;
ll a[N],b[N];
ll dp[N][N];
int main()
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
        b[i]=b[i-1]+a[i];
    
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=k;j++)
            if(i-m>=0)
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-m][j-1]+b[i]-b[i-m]);
            
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        
    
    cout<<dp[n][k]<<endl;
    return 0;

2 http://codeforces.com/problemset/problem/706/C

【题意】给定 $n$ 个字符串，若第 $i$ 个字符串翻转则需要加上权值 $w_i$，若从第一个字符串开始，保证当前字典序一定不比下一个大，问满足此条件，权值和最小是多少。不满足输出-1.
首先想了个离散化，离散化了字符串，错在了前后可能有相同串出现。
因为每个状态只有翻转和不翻转两种情况，翻转权值加 $w_i$，则可以得到状态转移方程：
$$\{\begin{array}{rcl}dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0])& & s[i]\ge s[i-1]\\ dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0])& & s[i]\ge rs[i-1]\\ dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0])& & rs[i]\ge s[i-1]\\ dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0])& & rs[i]\ge rs[i-1]\end{array}$$
其中 $rs[i]$ 表示第 $i$ 个字符串翻转之后的字符串。0代表不翻转，1代表翻转。
在定义正无穷时要定到1e15的级别，这道题的数据有很大的答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
const ll INF=1e15;
ll w[N];
string s[N],rs[N];
ll dp[N][2];
string change(string s)
    reverse(s.begin(),s.end());
    return s;

int main()
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>s[i];
        rs[i]=change(s[i]);
    
    // memset(dp,INF,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=INF,dp[i][1]=INF;
    dp[1][0]=0;
    dp[1][1]=w[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(s[i]>=s[i-1]) dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0]);
        if(s[i]>=rs[i-1]) dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][1]);
        if(rs[i]>=s[i-1]) dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][0]+w[i]);
        if(rs[i]>=rs[i-1]) dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][1]+w[i]);
    
    ll ans=min(dp[n][0],dp[n][1]);
    if(ans==INF) cout<<-1<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;

3 https://codeforces.com/problemset/problem/611/C

【题意】有一个n*m的地图，地图上有“.”和“#”，当相邻的两块都为“.”时可以放置一个多米诺骨牌，现给定一个矩形区域，问在这个矩形区域内有多少种放置骨牌的方法。
如果直接做二维，碰到#时会交代不清楚，没法很好的转移状态，所以分为行dp和列dp进行转移，这样试一下样例发现可以很好的表示，如列dp，在一行上，如果第 $i$ 个为".“和第 $i-1$ 个为”."，可以直接写成 $dp[i]=dp[i-1]+1$ ;如果第 $i$ 个为"#“或第 $i-1$ 个为”#"，可以直接写成 $dp[i]=dp[i-1]$，表示没有新增的放置方式。
$dp[i]$ 表示$1i$ 最多有多少种放置方式。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505;
typedef long long ll;
ll hdp[N][N]以上是关于codeforce#dp专项的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 洛谷P1282 多米诺骨牌
 UVa 11270 铺放骨牌（轮廓线DP）
 Dumb Bones UVA - 10529（概率dp）
 UVA 10529 - Dumb Bones（概率+区间dp)
 poj 2411 Mondriaan's Dream 骨牌铺放 状压dp
 G - Most Dangerous Shark  dp 单调栈 单调队列