立体视觉入门指南：相机标定之DLT直接线性变换建议收藏

Posted 2022-11-27 李迎松~

亲爱的同学们，我们的世界是3D世界，我们的双眼能够观测三维信息，帮助我们感知距离，导航避障，从而翱翔于天地之间。而当今世界是智能化的世界，我们的科学家们探索各种机器智能技术，让机器能够拥有人类的三维感知能力，并希望在速度和精度上超越人类，比如自动驾驶导航中的定位导航，无人机的自动避障，测量仪中的三维扫描等，都是高智机器智能技术在3D视觉上的具体实现。

立体视觉是三维重建领域的重要方向，它模拟人眼结构用双相机模拟双目，以透视投影、三角测量为基础，通过逻辑复杂的同名点搜索算法，恢复场景中的三维信息。它的应用十分之广泛，自动驾驶、导航避障、文物重建、人脸识别等诸多高科技应用都有它关键的身影。

本课程将带大家由浅入深的了解立体视觉的理论与实践知识。我们会从坐标系讲到相机标定，从被动式立体讲到主动式立体，甚至可能从深度恢复讲到网格构建与处理，感兴趣的同学们，来和我一起探索立体视觉的魅力吧！

本课程是电子资源，所以行文并不会有太多条条框框的约束，但会以逻辑清晰、浅显易懂为目标，水平有限，若有不足之处，还请不吝赐教！
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同学们好，在上一篇立体视觉入门指南（3）：相机标定之张式标定法中，我们接触了迄今为止可能是最为出名应用最为广泛的相机标定方法：Zhang式标定法。但实际上，并不止其一种标定方法被广泛使用，还有另外一种使用也非常广泛的标定方法，称为：直接线性变换法（Direct Linear Transform，DLT）。

让我们首先回顾下，通过投影矩阵$M$建立的世界坐标系$P_w$与图像坐标系$p$之间的关系式：
$$\lambda p=K\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_w\\ 1\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}{P}_w\\ 1\end{array}\right],M=K\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]$$

相机标定的目的是确定相机的内参矩阵$K$以及外参矩阵$R,t$（可选）。而投影矩阵刚好由内外参唯一确定$M=K\left[\begin{array}{cc}R& t\end{array}\right]$，所以能否先计算投影矩阵，再通过投影矩阵计算内外参呢？确实可以，这就是我们今天要介绍的直接线性变换法的思路：

1. 通过大量已知量$(p,P_w)$，代入关系式$\lambda p=M\left[\begin{array}{c}{P}_w\\ 1\end{array}\right]$计算投影矩阵$M$。
2. 分解矩阵$M$得到$K,R,t$。

第一步我们可以通过线性方程组的求解来计算$M$，而第二步，则采用矩阵的QR分解来实现。

本篇第二节开始我们将聊一聊具体的实现细节，第一节首先来看下DLT直接线性变换法到底在什么场景下有其用武之地。

文章目录

• • DLT直接线性变换法的应用场景
  • DLT实现细节1：解线性方程组求解$M$
  • DLT实现细节2：QR分解得到$K,R,T$
  • DLT实现细节3：非线性迭代优化
  • DLT实施
  • 作业

DLT直接线性变换法的应用场景

有同学想必有疑问，既然有了非常方便操作的张式标定法，为什么我们还需要直接线性变换法呢？

张式标定法虽然方便，但是有一个明显的缺点就是必须要求标定板是平面，精度要求越高的应用，就对标定板的平面度有更高的要求。当测量距离很小时，比如在30cm左右，相机的FOV也在数十厘米的范围，我们可以制作一块小型标定板，比如20cm*20cm，并在工艺上提出较高要求，比如板子的平面度在微米级。但是当测量距离很大时，比如在30米，且FOV在有在数十米的范围，这时候你再要求做一块高精度的超大平面，就非常不现实了。

所以，我们不会再采用张式标定法，而是使用大型的三维标定场，就像下图这样：

标定场中布设有大量已知世界坐标$P_w(X_w,Y_w,Z_w)$的控制点，用需要标定的相机拍摄控制场并提取控制点的图像坐标$p(u,v)$，得到大量观测值$(p_i,P_{wi})$，即可通过DLT直接线性变换法求出投影矩阵$M$，进而分解得到内外参$K,R,t$。

DLT实现细节1：解线性方程组求解$M$

投影关系式 $\lambda p=M\left[\begin{array}{c}{P}_w\\ 1\end{array}\right]$建立了世界坐标系和图像坐标系之间的关系，它是一个齐次坐标表达式，我们设 $\text{x}=\lambda p=\lambda \left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right],\text{X}=\left[\begin{array}{c}{P}_w\\ 1\end{array}\right]=(X,Y,Z,1{)}^T$，得到
$$\text{x}=M\text{X}\text{\hspace{1em}(1)}$$

投影矩阵$M$是一个$3\times 4$矩阵，不妨设
$$M=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}& m_{14}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}& m_{24}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}& m_{34}\end{array}\right]=\lfloor$$

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