51nod 1639概率与期望绑鞋带

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了51nod 1639概率与期望绑鞋带相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

绑鞋带

51nod 1639 绑鞋带


题目

有n根鞋带混在一起,现在重复n次以下操作:随机抽出两个鞋带头,把它们绑在一起。可以想象,这n次之后將不再有单独的鞋带头,n条鞋带系成了一些环。那么有多大概率刚好所有这些鞋带只形成了一个环?

输入
仅一行,包含一个整数n (2<=n<=1000)。
输出
输出一行,为刚好成环的概率。
输入样例

2

输出样例

0.666667

解题思路

一根鞋带两个头,n个鞋带有 2n 个鞋带头
设当前已经打了 i 个结了,那么表示有 2i 个鞋带头绑在一起了
剩余 2n - 2i 个鞋带头
在剩余鞋带头中随便选定一个鞋带头,没有限制,那么剩余鞋带头有 2n - 2i - 1

最后变成一个环,那最后一个打结是 刚刚选出的鞋带头 和 这个鞋带头所在的集合 的 一个鞋带头 绑在一起
其实就是最后两个鞋带头绑在一个
但是,显而易见,在之前的打结中一定不能和自己的集合打结

同样显而易见,选中的鞋带头所在的集合 也只会有两个头,一个已选,另一个不能选
那么能选的就只有 2n - 2i - 2 个鞋带头
概率为 2 n − 2 i − 2 2 n − 2 i − 1 \\frac2n - 2i - 22n - 2i - 1 2n2i12n2i2,累乘即可

很快会发现这个公式实现上有问题,当 i = n - 1 时概率为0,所以不管怎么样最后概率都会变为0
当 i = n - 1 时只需要打最后一个结了,上面已经提到这种情况,最后只剩两个鞋头,如果保证前面一直是合法的,那么其实可以把问题转换为把鞋带绑成一条链。换言之,当前面都是合法时,绑最后一个结使鞋带变环是必然事件,概率为1


Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ldb long double

using namespace std;

int n;
ldb a, b, ans = 1.0;

int main() 
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i < n; i ++)  // 记得去掉最后一个结
		a = 2 * n - 2 * (i - 1) - 2;
		b = 2 * n - 2 * (i - 1) - 1;
		ans = ans * a / b;
	
	cout << ans;

以上是关于51nod 1639概率与期望绑鞋带的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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