2022百度之星程序设计大赛 - 复赛 1003 最大值

Posted 2022-11-26 小哈里

problem

题目标题-最大值
现有一个长度为 nn 的序列 a_1,a_2,\\cdots,a_na
1
​
,a
2
​
,⋯,a
n
​
。记 mx(a)mx(a) 为整个序列 aa 的最大值，即 mx(a)=\\max(a_1,a_2,\\cdots ,a_n)mx(a)=max(a
1
​
,a
2
​
,⋯,a
n
​
)。

对于一个序列 aa，记其权值 f(a)f(a) 为取得整个序列最大值的位置数量，即 \\sum_i=1^n[a_i=mx(a)]∑
i=1
n
​
[a
i
​
=mx(a)]。其中 [A][A] 表示若 AA 为真，则其值为 11，否则为 00。

度度熊想知道满足以下条件的所有不同序列的权值之和：

1.序列的长度为 nn。
2.对于所有的 a_ia
i
​
(1\\le i \\le n1≤i≤n)，满足 a_ia
i
​
为整数，且 1\\le a_i\\le m1≤a
i
​
≤m。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353998244353 取模后的结果。

格式
输入格式：
共一行，两个整数 n,mn,m (1\\le n\\times m\\le10^121≤n×m≤10
12
)，意义如上所述。

输出格式：
共一行一个整数，表示答案对 998244353998244353 取模后的结果。

样例 1
输入：
4 3
输出：
144
说明：

solution

• <1e7时套公式。$n{\sum }_{i=1}^m{i}^{n-1}$
• >1e7时套板子：https://www.cnblogs.com/Pro-king/p/10664390.html
• 两题无罚时最后一小时前签上道就可以拿到衣服。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
#define rep(i,x,y) for(auto i=(x);i<=(y);++i)
#define F(i,a,b) for (LL i = a; i <= b; i ++)
#define G(i,a,b) for (LL i = a; i >= b; i --)
#define ios ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0),cout.tie(0)
const LL Mo = 998244353, M = 1e6 + 10;
const LL mod=998244353;
using namespace std;

LL pow2(LL a,LL b)LL r=1;while(b)if(b&1)r=r*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;return r%mod;
LL pows(LL a, LL x)  if(x==0)return 1; LL t = pows(a, x>>1); if(x%2==0)return t*t%mod; return t*t%mod*a%mod; 
LL pows(LL a, LL x, LL p)  if(x==0)return 1; LL t = pows(a, x>>1, p); if(x%2==0)return t*t%p; return t*t%p*a%p; 
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) if(!b) x = 1, y = 0; return a; elseLL r = exgcd(b, a%b, x, y); LL t = x; x = y; y = t-a/b*y; return r; 
void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x,  LL & y, LL mod)  if (b==0)  d = a; x = 1; y = 0;  else  exgcd(b, a % b, d, y, x, mod); y -= x * (a / b);  
LL inv(LL a, LL mod)  LL d=0, x=0, y=0; exgcd(a, mod,  d,  x, y, mod); return d == 1 ? (x + mod) % mod : -1; 

LL l, r, k, m, y[M], z[M], jc[M], suf[M], pre[M];
bool bz[M];

void Init() 
    y[1] = 1, m = k + 2;
	F(i, 2, m) 
		if (!bz[i])
			z[++ z[0]] = i, y[i] = pows(i, k);
		F(j, 1, z[0]) 
			if (z[j] * i > m) break;
			bz[z[j] * i] = 1;
			y[z[j] * i] = (1ll * y[z[j]] * y[i]) % Mo;
			if (i % z[j] == 0) break;
		
	
	F(i, 2, m)
		y[i] = (y[i - 1] + y[i]) % Mo;
	jc[0] = 1;
	F(i, 1, m)
		jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % Mo;
	jc[m] = pows(jc[m], Mo - 2);
	G(i, m - 1, 1)
		jc[i] = 1ll * jc[i + 1] * (i + 1) % Mo;

LL Solve(LL n) 
	pre[0] = suf[m + 1] = 1;
	F(i, 1, m)
		pre[i] = 1ll * pre[i - 1] * (n - i) % Mo;
	G(i, m, 1)
		suf[i] = 1ll * suf[i + 1] * (n - i) % Mo;

	LL Ans = 0;
	F(i, 1, m)
		Ans = (Ans + 1ll * y[i] * pre[i - 1] % Mo * suf[i + 1] % Mo * (((k-i+2)&1) ? (-1) : 1) * jc[i - 1] % Mo * jc[k + 2 - i] % Mo) % Mo;
	return Ans;


int main() 
    LL nn,mm,ans;  cin>>nn>>mm;
    if(mm<1e7)
        LL x=nn-1;
        rep(i,1,mm)ans=(ans+pow2(i,x))%mod;
        ans=ans*nn%mod;
        cout<<(ans+mod)%mod<<"\\n";
        return 0;
    
    r=mm,k=nn-1;
	Init();
	cout<<(Solve(r)*nn%Mo+Mo)%Mo;
    return 0;