高级数据结构—二项堆与斐波那契堆详细介绍(算法导论中科大USTC)

Posted 2022-11-25 之墨_

二项堆与斐波那契堆

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数据结构与堆

下图列出了小顶堆在各种数据结构_{(链表、二叉堆、二项堆、斐波那契堆、松弛堆)}的实现下，各种基本操作的时间复杂度

二项树

二项堆是二项树的集合。在了解二项堆之前，先对二项树进行介绍。

定义

二项树是一种递归定义的有序树。它的递归定义如下：

1. 二项树$B_0$只有一个结点
2. 二项树$B_k$由两棵二项树$B_{(k-1)}$组成的，其中一棵树是另一棵树根的最左孩子
   

性质

[性质一]
$B_k$共有$2^k$个节点。
如上图所示，$B0$有$2^0=1$节点，$B_1$有$2^1=2$个节点，$B_2$有$2^2=4$个节点，…
[性质二]
$B_k$的高度为$k$。
如上图所示，$B_0$的高度为$0$，$B_1$的高度为$1$，$B_2$的高度为$2$，…
[性质三]
$B_k$在深度$i$处恰好有$C(k,i)$个节点，其中$i=0,1,2,...,k$。
$C(k,i)$是高中数学中阶乘元素，例如，
$$C(10,3)=\frac{(10\ast 9\ast 8)}{(3\ast 2\ast 1)}=240$$
$B_4$中深度为$0$的节点$C(4,0)=1$
$B_4$中深度为$1$的节点$C(4,1)=4/1=4$
$B_4$中深度为$2$的节点$C(4,2)=(4\ast 3)/(2\ast 1)=6$
$B_4$中深度为$3$的节点$C(4,3)=(4\ast 3\ast 2)/(3\ast 2\ast 1)=4$
$B_4$中深度为$4$的节点$C(4,4)=(4\ast 3\ast 2\ast 1)/(4\ast 3\ast 2\ast 1)=1$
合计得到$B_4$的节点分布是$(1,4,6,4,1)$。

[性质四]
根的度数为$k$，它大于任何其它节点的度数。
节点的度数是该结点拥有的子树的数目。

二项堆

定义

二项堆是指满足以下性质的二项树的集合：

1. 每棵二项树都满足最小堆性质。即，父节点的关键字 $<=$ 它的孩子的关键字。
2. 不能有两棵或以上的二项树具有相同的度数(包括度数为$0$)。换句话说，具有度数$k$的二项树有$0$个或$1$个。
   

上图就是一棵二项堆，它由二项树$B_0$、$B_1$和$B_4$组成。对比二项堆的定义：

1. 二项树$B_0、B_1、B_4$都是最小堆
2. 二项堆不包含相同度数的二项树

性质

二项堆的第$1$个性质保证了二项堆的最小节点就是某个二项树的根节点，第$2$个性质则说明结点数为n的二项堆最多只有$\log n+1$棵二项树。实际上，将包含$n$个节点的二项堆，表示成若干个$2$的指数和(或者转换成二进制)，则每一个$2$个指数都对应一棵二项树。例如，$13$(二进制是$1101$)的$2$个指数和为$13=23+22+20$, 因此具有$13$个节点的二项堆由度数为$3,2,0$的三棵二项树组成。

实现

• 使用左子级、右同级指针表示树。 每个节点三个链接：父节点、左节点（最左边的子节点）、右边（右边的同级节点）。
• 与单链表相连的树根。 当我们遍历根链时，树的度数会严格增加。

内存

下图为二项式堆$H$，堆由二元树 $B_0、B_2和B_3$组成，它们分别具有 1 、 4 和 8 1、4 和 8 算法导论——斐波那契堆

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