统一Pearl与Rubin的因果图模型：Single-World Intervention Graphs

Posted 2022-11-23 Jie Qiao

本文是Single World Intervention Graphs (SWIGs): Unifying the Counterfactual and Graphical Approaches to Causality论文的笔记

Single World Intervention Graphs

Rubin的potential outcome框架和 Juder peral 的DAG的模型，一直以来都处于割裂状态，这里用一个统一框架来统一两者。

我们知道在Rubin的potential outcome框架下，有很多必要的假设，比如ignorability

$$X\perp Y(X=0)|LandX\perp Y(X=1)|L$$

这个假设可以理解为，不管我的X的选择是什么，都不会对“潜在”的结果有任何影响，更直白点地说就是，$Y(0),Y(1)$是一个世界本来存在的值，X只是选择看哪个而已。然而这样的表述总是很不直观，而且$Y(0),Y(1)$是没有出现在图上的。有没有可能用一个图结果来刻画这些“潜在”的假设呢？

当满足ignorability假设我们就可以从观测数据中识别出$Y(0),Y(1)$。然而Pearl也考虑过类似的问题，但他是考虑$P(Y,do(X))$这样的分布是否可识别。从某种程度上来讲，potential outcome这套框架其实能提供更多的信息，因为使用do操作是没有办法对counterfactual建模的，而potential outcome框架却可以。

但是potential outcome这一框架往往不直观$Y(0),Y(1)$根本没有在图上出现，我们没有办法直观地看到，他跟X到底是否独立。这里介绍一种Single-World Intervention Graphs (SWIGs)，他可以帮我们在图上“画出”$Y(0),Y(1)$这些本来在DAG上不存在的变量，然后用最基本的D-separated就可以一眼看出其所有的独立性!

SWIG的构造方法就是将干预变量X进行node splitting：

此时，从图上就能看出来，$X\perp Y(0)$，于是有

$$P(X=x,Y(0)=y)=P(X=x)P(Y(0)=y)$$

其中

$$P(Y(0)=y)=P(Y=y|X=0)$$

类似的，X=1也能得到类似的图与结论。你可以发现，这个图每次只能表示一个x的状态(这也是被称为single-world的原因，每次只能观测到一个世界)，我们可以引入模板来作为world的选择，

从而不同的$\mathcal{G}(x_0),\mathcal{G}(x_1)$可以用来分别表达不同的$x$的取值。需要注意的是，这个图只是说明了$X\perp Y(0)$和$X\perp Y(1)$成立，并没有假设$X\perp Y(0),Y(1)$，事实上，这样的写法是不对的，我们需要的就只是$X\perp Y(0)$和$X\perp Y(1)$。

用SWIG推导back-door formula

现在我们尝试用SWIG来推导出back-door准则，

从上图可以看到显然，$X\perp Y(x)|L$成立，因此

$$\begin{array}{rl}P(Y(x)=y)& =\sum _{l}P(Y(x)=y|L=l)P(L=l)\\ & =\sum _{l}P(Y(x)=y|L=l,X=x)P(L=l)\\ & =\sum _{l}P(Y=y|L=l,X=x)P(L=l)\end{array}$$

这就推出来了。

这篇文章还提到Rubin这套模型与pearl的SEM模型的优势在于，SEM由于要假设噪声是相互独立的，而这一假设是无法通过随机试验检验的，而Rubin这一套模型是完全可检验的，因此更有优势。

g-formula

g-formula可以看做是一种更加一般化的back-door，它给出了更一般情况下，potential outcome的识别方法，即在干预后的分布中，如何从观测数据中计算出potential outcome。

举个例子，考虑一个sequence treatments的情况：

我们有

$$\begin{array}{rl}P(Y(a_0,a_1)=y)& =\sum _{l}P(L(a_0)=l,Y(a_0,a_1)=y)\\ & =\sum _{l}P(L=l\mid A_0=a_0)P(Y=y\mid A_0=a_0,L=l,A_1=a_1)\end{array}$$

这里第二个等于号，其实就是相当于考虑上述推论18中，令$B=L,Y$

事实上，在有隐变量的时候也仍然适用，比如

H是隐的，但此时该式子同样适用

P ( Y ( a 0 , a 1 ) = y ) = ∑ l , h p ( l ∣ h , a 0 ) p ( y ∣ a 1 , l , a 0 , h ) p ( h ) ( H ⊥ A 0 ) = ∑ l , h p ( l ∣ h , a 0 ) p ( y ∣ a 1 , l , a 0 , h ) p ( h ∣ a 0