读《趣学算法》：重开算法之门，时间复杂度与空间复杂度

Posted 2022-11-16 阿迷创客

14天阅读挑战赛

一、前言

程序 = 数据结构 + 算法

• 时过境迁，自己早已把算法的基础忘记得干干净净，最近看到CSDN发起了《趣学算法》的14天阅读挑战赛，兴趣再次油然而起，既然想学，就不用那么计较，马上就开始！

二、算法复杂度

作为一名从事代码工作的程序员，在设计和优化算法时，首先就会关注到算法的复杂度。算法的复杂度，又分为时间复杂度和空间复杂度。

2.1 复杂度的表示

（1）常数阶： O(1)

• 这应该是程序员追求的复杂度，随着n的增长，复杂度却是常数，例如1，10， 20。通常用 O(1)表示。

（2）多项式阶：O($n$)、O($n^2$)、O($n^3$)

• 就像我们日常学习的函数多项式，其特点是指数部分为常数，通常用：O($n$)、O($n^2$)、O($n^3$)来表示，也就是多项式的最高高阶的项。

（3）指数阶：O($2^n$)、O($n^n$)、O($n!$)

• 算法效率极差，其复杂度随n呈现指数增长。通常用O($2^n$)、O($n^n$)、O($n!$)表示

（4）对数阶：O($\log (n)$)、O($n\log (n)$)

• 算法效率较高，通常用O($\log (n)$)、O($n\log (n)$)表示

算法执行效率, O(1) 最高， 而O($n^n$) 最低，依次如下：
O(1) > O($\log (n)$) > O($n$) > O($n\log (n)$) > O($n^2$) > O($n^3$) > O($2^n$) > O($n!$) > O($n^n$)

2.2 时间复杂度

• 时间复杂度， 即算法运行所需的时间。

例子：实现算法，计算1到n之间所有整数的和，并计算其时间复杂度。

2.2.1 青铜：O($n$)

int SumFun(int n)

    int sum = 0;  // 计算 1 次
	int i=1; //计算1次
	for( ; i<=n; ) //计算n次
	
	   sum += i; //计算n次
	   i++;  //计算n次
	
	return sum; //计算1次

即，计算运行时间为：T($n$) = 1+1+n+n+n+1= 3n+3 ，所以，其算法复杂度可表示为O($n$)。

2.2.2 王者：O($1$)

int SumFun(int n)

     int sum = 0;  // 计算 1 次
     sum =  (1+n) * n / 2; //加1次赋值，姑且就算4次
	 return sum; //计算1次

举例：

（1）当n=5时，
$\underset{15}{\underbrace{1+2+3+4+5}}$

（2）当n=6时，
$\underset{21}{\underbrace{1+2+3+4+5+6}}$

即，计算运行时间为：T($n$) = 1+4+1=6次 ，所以，其算法复杂度可表示为O($1$)。

备注：计算复杂度时，一般可舍弃不重要的部分，只关心n的最高阶的项

2.3 空间复杂度

空间复杂度， 即算法运行所需的内存空间。

2.3.1 例子：空间复杂度 O($1$)

int SumFun(int n)   //参数入栈，占用空间 1 个 int

    int sum = 0;  //局部变量，占用空间 1 个 int
	int i=1;     //局部变量，占用空间 1 个 int
	for( ; i<=n; )
	
	   sum += i; 
	   i++;  
	
	return sum;

即，计算运行时间为：T($n$) = 1+1+1= 3 ，所以，其算法复杂度可表示为O($1$)。

2.3.2 例子：空间复杂度 O($n$)

• 下面以一个递归函数举例

n为正整数，试求n的阶乘，即 f(n) = n! = n*(n-1)*(n-2) … *2 * 1

int fac( int n)

    if((n==0)  || (n==1))
    	return 1;
    else
       return n * fac(n-1);

假设 n=3， 即计算 3! = 3x2x1

1. fac(3) = 3 x fac(2) = 3x2xfac(1) = 3x2x1 = 6

分析：如上图所示，每次递归，都要占用1个栈空间，当n=3时，就占用3个，所以可以估算出其空间复杂度为 O(n)

三、结束语

读完第一章，根据个人理解，做了小小的读书笔记，如有错误，麻烦指正~

四、课后问题

• 谁能帮忙解答一下~
• 请问：1.下图中 f($n$) 是指 f($n$)=$n^2$吗？Cf($n$) ==2f($n$) ?
• 请问：2.下图中的$n_0$是如何计算的？ 当T(n)$\le$Cf(n)时，$n_0$是不是该等于 -1？-_-||
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