数据结构-矩阵矩阵的相关公式推导

Posted 2022-11-11 Mount256

文章目录

• • 1 数组
  • • 1.1 一维数组
    • 1.2 二维数组
  • 2 对称矩阵
  • • 2.1 上三角部分（i ≤ j）
    • 2.2 下三角部分（i ≥ j）
  • 3 三角矩阵
  • • 3.1 上三角矩阵（i ≤ j 的元素不全为 0）
    • 3.2 下三角矩阵（i ≥ j 的元素不全为 0）
  • 4 三对角矩阵
  • 5 稀疏矩阵

1 数组

设数组元素长度为 L。

1.1 一维数组

数组下标从 0 开始（A[0]–A[n]，一共 n+1 个），假设当前下标为A[i]：

• 第几个 = i + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[0] 地址 + i * L

数组下标从 1 开始（A[1]–A[n]，一共 n 个），假设当前下标为A[i]：

• 第几个 = i
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[1] 地址 + (i - 1) * L

1.2 二维数组

数组下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第几个 = i * (a+1) + j + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[0, 0] 地址 + (i * (a+1) + j) * L

数组下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第几个 = j * (b+1) + i + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[0, 0] 地址 + (j * (b+1) + i) * L

数组下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第几个 = (i-1) * a + j
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[1, 1] 地址 + ((i-1) * a + j - 1) * L

数组下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第几个 = (j-1) * b + i
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = A[1, 1] 地址 + ((j-1) * b + i - 1) * L

2 对称矩阵

设矩阵 A_axb，一般情况下，矩阵为方阵，即 a = b = n。设数组元素长度为 L，一般推导思路是从“求矩阵元素是数组的第几个元素”入手，进而推出数组元素的下标。

2.1 上三角部分（i ≤ j）

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = a + (a-1) + (a-2) +…+ (a-i+2) + (j-i+1) = (i-1)(2a-i+2)/2 + (j-i+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + ((i-1)(2a-i+2)/2 + (j-i)) * L

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ j + (i+1) = j(j+1)/2 + (i+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(j+1)/2 + i) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = a + (a-1) + (a-2) +…+ (a-i+1) + (j-i+1) = i(2a-i+1)/2 + (j-i+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(2a-i+1)/2 + (j-i)) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ (j-1) + i = j(j-1)/2 + i
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(j-1)/2 + i - 1) * L

2.2 下三角部分（i ≥ j）

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ i + (j+1) = i(i+1)/2 + (j+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(i+1)/2 + j) * L

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = b + (b-1) + (b-2) +…+ (b-j+2) + (i-j+1) = (j-1)(2b-j+2)/2 + (i-j+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + ((j-1)(2b-j+2)/2 + (i-j)) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ (i-1) + j = i(i-1)/2 + j
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(i-1)/2 + j - 1) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = b + (b-1) + (b-2) +…+ (b-j+1) + (i-j+1) = j(2b-j+1)/2 + (i-j+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(2b-j+1)/2 + (i-j)) * L

3 三角矩阵

设矩阵 A_axb，一般情况下，矩阵为方阵，即 a = b = n。设数组元素长度为 L。推导过程与对称矩阵相同。

3.1 上三角矩阵（i ≤ j 的元素不全为 0）

（1）当 i ≤ j 时（不全为 0）：

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = a + (a-1) + (a-2) +…+ (a-i+2) + (j-i+1) = (i-1)(2a-i+2)/2 + (j-i+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + ((i-1)(2a-i+2)/2 + (j-i)) * L

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ j + i + 1 = j(j+1)/2 + i + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(j+1)/2 + i) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = a + (a-1) + (a-2) +…+ (a-i+1) + (j-i+1) = i(2a-i+1)/2 + (j-i+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(2a-i+1)/2 + (j-i)) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ (j-1) + i = j(j-1)/2 + i
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(j-1)/2 + i - 1) * L

（2）当 i > j 时（全为 0）：

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = n(n+1)/2 + 1

矩阵下标从 1 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = n(n-1)/2 + 1

3.2 下三角矩阵（i ≥ j 的元素不全为 0）

（1）当 i ≥ j 时（不全为 0）：

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ i + j = i(i+1)/2 + j + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(i+1)/2 + j) * L

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = b + (b-1) + (b-2) +…+ (b-j+2) + (i-j+1) = (j-1)(2b-j+2)/2 + (i-j+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + ((j-1)(2b-j+2)/2 + (i-j)) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = 1 + 2 + 3 +…+ (i-1) + j = i(i-1)/2 + j
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (i(i-1)/2 + j - 1) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = b + (b-1) + (b-2) +…+ (b-j+1) + (i-j+1) = j(2b-j+1)/2 + (i-j+1)
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (j(2b-j+1)/2 + (i-j)) * L

（2）当 i < j 时（全为 0）：

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = n(n+1)/2 + 1

矩阵下标从 1 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），假设当前下标为A[i, j]：

• 数组的第几个元素 = n(n-1)/2 + 1

4 三对角矩阵

设矩阵 A_axb，一般情况下，矩阵为方阵，即 a = b = n。设数组元素长度为 L。

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第 1 ~ i 行有几个元素：3i-1；A[i, j] 是第 i+1 行第 j-i+2 个元素
• 数组的第几个元素 = (3i-1) + (j-i+2) = 2 * i + j + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (2 * i + j) * L

矩阵下标从 0 开始（A[0, 0]–A[a, b]，每行 a+1 个，每列 b+1 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第 1 ~ j 列有几个元素：3j-1；A[i, j] 是第 j+1 行第 i-j+2 个元素
• 数组的第几个元素 = (3j-1) + (i-j+2) = 2 * j + i + 1
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (2 * j + i) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），行优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第 1 ~ i-1 行有几个元素：3(i-1)-1；A[i, j] 是第 i 行第 j-i+2 个元素
• 数组的第几个元素 = 3(i-1)-1 + (j-i+2) = 2 * (i-1) + j
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (2 * (i-1) + j - 1) * L

矩阵下标从 1 开始（A[1, 1]–A[a, b]，每行 a 个，每列 b 个），列优先，假设当前下标为A[i, j]：

• 第 1 ~ j-1 列有几个元素：3(j-1)-1；A[i, j] 是第 j 列第 i-j+2 个元素
• 数组的第几个元素 = 3(j-1)-1 + (i-j+2) = 2 * (j-1) + i
• 存储地址 = 首地址 + (第几个-1) * L = 数组首地址 + (2 * (j-1) + i - 1) * L

【注】以上公式均不适用于第一行。

5 稀疏矩阵

三元组、十字链表法。