数据结构----图（略）

Posted 4nc414g0n

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构----图（略）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

图

图概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)
其中：

  • 顶点集合V = x|x属于某个数据对象集是有穷非空集合；
  • E = (x,y)|x,y属于V或者E = <x, y>|x,y属于V && Path(x, y)是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。
  • (x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；
  • Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的

其他概念：

  • 顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>
  • 有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>
  • 完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图
  • 邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
  • 顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
  • 路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
  • 路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和
  • 简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环
  • 子图：设图G = V, E和图G1 = V1，E1，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图
  • 连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
  • 强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图，n个顶点的强连通图最多有n（n-1）条边，最少n条边—图截自百度百科
  • 生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边

存储结构

邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系

无向图邻接表：

  • 注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可

有向图邻接表：

  • 注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i

模拟

结构：

template<class W>
struct Edge

	int _srci;
	int _dsti;  // 目标点的下标
	W _w;		// 权值
	Edge<W>* _next;

	Edge(int dsti, const W& w)
		:_dsti(dsti)
		, _w(w)
		, _next(nullptr)
	
;
template<class V, class W, bool Direction = false>
class Graph

	typedef Edge<W> Edge;
public:
	Graph(const V* a, size_t n)
	size_t GetVertexIndex(const V& v)
	void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
	void Print()
private:
	vector<V> _vertexs;			// 顶点集合
	map<V, int> _indexMap;		// 顶点映射下标
	vector<Edge*> _tables;		// 邻接表
;

实现过程略

邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系

有向带权值：

无向不带权值：

注意：

  1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
  2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替
  3. 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求

模拟

结构：

// V:顶点类型，W：权， W MAX_W非类型模板参数
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph

	typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
public:
	Graph() = default;//编译器自动生成默认构造函数	
	Graph(const V* a, size_t n)
	size_t GetVertexIndex(const V& v)
	void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
	void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
	void Print()
private:
	vector<V> _vertexs;			// 顶点集合
	map<V, int> _indexMap;		// 顶点映射下标
	vector<vector<W>> _matrix;  // 邻接矩阵
;

操作实现略
为了方便，下面的算法都使用邻接矩阵

遍历

BFS

类似于：

过程略：利用队列

void BFS(const V& src)

	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	vector<bool> visited(_vertexs.size(),false);
	queue<size_t> q;
	q.push(srci);
	visited[srci] = true;

	int n = _vertexs.size();
	int level = 1;
	while (!q.empty())
	
		for (int i = 0; i < level; i++)
			
			
			int front = q.front();
			q.pop();
			cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";

			for (int j = 0; j < n; j++)
			
				if (_matrix[front][j] != MAX_W && visited[j]==false)
				
					q.push(j);
					visited[j] = true;
				
			
		
		level = q.size();

DFS

类似于：

递归，注意：对于非连通图,需要再次查看是否还有visited[i]==false的有效节点
visited数组防止回退时重复访问

void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)

	visited[srci] = true;
	int n = _vertexs.size();
	cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << " ";
	for (int i = 0; i < n; i++)
	
		if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
		
			_DFS(i, visited);
		
	

void DFS(const V& src)

	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
	_DFS(srci, visited);
	//注意：对于非连通图,需要再次查看是否还有visited[i]==false的有效节点
	for (int i = 0; i < visited.size(); i++)
	
		if (visited[i] == false)
			_DFS(i,visited);

应用（邻接矩阵实现）

最小生成树

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准有三条：

  1. 只能使用图中的边来构造最小生成树
  2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 选用的n-1条边不能构成回路

构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解

注意：两个算法都需要一个struct Edge来表示边

struct Edge

	size_t _srci;
	size_t _dsti;
	W _w;
	Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		:_srci(srci)
		, _dsti(dsti)
		, _w(w)
	
	bool operator>(const Edge& e) const
	
		return _w > e._w;
	
;

Kruskal

任给一个有n个顶点的连通网络N=V,E:

  • 首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G=V,NULL，其中每个顶点自成一个连通分量，
  • 其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树
思路：

  • 使用一个priority_queue来存储所有边，大堆，最小元素在顶部
  • 在构建minTree时要判断是否成环(复用并查集)
  • 当边为n-1时成功退出返回总权值
  • 注意：为防止a->b 又出现b->a的情况,只选取一半的情况（i<j）

代码：

W Kruskal(Self& minTree)

	size_t n = _vertexs.size();
	minTree._vertexs = _vertexs;
	minTree._indexMap = _indexMap;
	minTree._matrix = _matrix;
	for (int i = 0; i < n ;i++)
	
		_matrix[i].resize(n, MAX_W);
	

	priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minqueue;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	
		for (int j = 0; j < n; j++)
		
			if (minTree._matrix[i][j] != MAX_W && i < j)//i<j（为防止a->b 又出现b->a的情况,只选取一半的情况）
			
				//AddEdge(_vertexs[i],_vertexs[j],_matrix[i][j]);
				minqueue.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
			
		
	
	int size = 0;//n个节点 要有n-1条边
	W totalW = W();//总的权值
	UnionFindSet ufs(n);
	while (!minqueue.empty())
	
		Edge min = minqueue.top();
		minqueue.pop();
		if (!ufs.IsInSet(min._srci, min._dsti))
		
			cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;
			ufs.Union(min._srci, min._dsti);
			size++;
			minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti,min._w);
			totalW += min._w;
		
		else//成环
		
			cout <<"huan  "<< _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;
		

	
	if (size == n - 1)
	
		return totalW;//找到了最小生成树
	
	else
	
		return W();//返回缺省值

Prim


仍然利用优先队列

  • 两个集合X，Y，X起点边集合（true表示有false无） Y终点边集合（true表示有false无）
  • 将所有以srci为起点的边压入优先队列minqueue
  • 反复将上一次选边的终点作为起点，将所有以_dsti为起点的边继续压入minqueue，Y[i]保证无重复边
  • 注意判环：终点不在Y集合中

代码：

W Prim(Self& minTree, const W& src)
	//初始化最小生成树
	size_t n = _vertexs.size();
	minTree._vertexs = _vertexs;
	minTree._indexMap = _indexMap;
	minTree._matrix = _matrix;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	
		_matrix[i].resize(n, MAX_W);
	

	vector<bool> X(n, false);//起点边集合（true表示有false无）
	vector<bool> Y(n, true);//终点边集合（true表示有false无）
	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	X[srci] = true;
	Y[srci] = false;

	//将所有以srci为起点的边压入优先队列minqueue
	priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minqueue;
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	
		if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
		
			minqueue.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));//将与srci顶点相连的边加入优先队列
		
	

	cout << "Prim选边"<<endl;
	size_t size = 0;// size=n-1 选完退出
	size_t totalW = W();//边的总权值
	while (!minqueue.empty())
	
		Edge top = minqueue.top();
		minqueue.pop();
		if (Y[top._dsti])//_dsti在终点集合中
		
			minTree._AddEdge(top._srci, top._dsti, top._w);
			cout<< _vertexs[top._srci] << "->" << _vertexs[top._dsti] << ":" << top._w << endl;
			Y[top._dsti] = false;
			X[top._dsti] = true;//_dsti加入起点集合
			
			totalW += _matrix[top._srci][top._dsti];
			size++;
			if (size == n - 1)
				break;

			//将所有以_dsti为起点的边继续压入minqueue，Y[i]保证无重复边
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			
				if (_matrix[top._dsti][i] != MAX_W && Y[i])//Y[i]=true，i在终点集合 为真
				
					minqueue.push(Edge(top._dsti, i, _matrix[top._dsti][i]));
				
			
		
		else if(X[top._dsti])//_dsti在起点集合中，构成环
		
			cout <<"构成环："<< _vertexs[top._srci] << "->" << _vertexs[top._dsti] << ":" << top._w << endl;
		
	
	cout << endl << endl;
	if (size = n - 1)
		return totalW;
	else
		return W();

有向无环图应用（MARK之后补）

拓扑排序

关键路径

最短路径

最短路径问题：从在带权有向图G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小

Dijkstra(单源最短路径)


单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径

  • 针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S中，对u 的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所以该算法使用的是贪心策略。

代码

void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)//dijkstra只能用于非负权值

	size_t srci = GetVertexIndex(src);
	size_t n = _vertexs.size();
	dist.resize(n, MAX_W);
	pPath.resize(n, -欧拉路和欧拉回路


 欧拉回路基本概念及定理


 欧拉回路


 有关欧拉通路/回路的一些资料整理


 欧拉路径和欧拉回路判断方法


 欧拉回路