回归-多项式回归算法

Posted 2022-10-07 吾仄lo咚锵

文章目录

• 简介
• 原理
• 代码
• 过拟合

简介

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多项式回归（Polynomial Regression）顾名思义是包含多个自变量的回归算法，也叫多元线性回归，多数时候利用一元线性回归（一条直线）不能很好拟合数据时，就需要用曲线，而多项式回归就是求解这条曲线。

也就是说一元回归方程是$y=wx+b$
而多元回归方程是$y=w_n{x}^n+w_{n-1}{x}^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +w_{1}x+w_0$
比如二元就是$y=a{x}^2+bx+c$，三元就是$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
但是并不是元数越多越好，可能存在过拟合问题，在最后一节介绍。

一元线性回归可参考另一篇博客：回归-线性回归算法（房价预测项目）

原理

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多元线性回归很复杂，特别是当特征数多元数多的时候，可视化难以想象。
用向量矩阵的来表达：$\mathbf{y}=\mathbf{xw}$
$x=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_k& x_k^2& \cdots & x_k^n\end{array}\end{array}\right)$，$\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}{w}_{01}& w_{02}& \cdots & w_{0k}\\ w_{11}& w_{12}& \cdots & w_{1k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_{n1}& w_{n2}& \cdots & w_{nk}\end{array}\end{array}\right)$

比如一个特征量二元回归方程：$k=1$，$n=2$：
$y=(\begin{array}{ccc}1& x_1& x_1^2\end{array})\left(\begin{array}{c}{w}_{01}\\ w_{11}\\ w_{21}\end{array}\right)=w_{01}+w_{11}{x}_1+w_{机器学习-多项式回归算法}$

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