应用统计学几种常见的概率分布

Posted 2022-09-22 古月书斋

一、离散型分布

1、两点分布

两点分布即伯努利分布，指的是对于随机变量X有, 参数为p(0<p<1)，如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。一次伯努利实验和抛硬币都属于两点分布。

2、二项式分布

如果随机变量X的分布率为

称这个离散型分布为参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。

【例4-10】人口普查的研究结果表明，某市有6%的工人失业。随机进行电话调查则20个人中有2个或2个以下的人失业的概率是多少?
解:设X表示20个被调查者中的失业人数，则X~B(20,0.06)，根据二项分布可得

 3、泊松分布

如果随机变量X的分布率为

 则称随机变量X服从参数为x的泊松分布，其中λ>0,并记泊松分布为P(λ)。

 实际场景：

1、某时间段随机到达商场的顾客数;

2、某企业每分钟接到的电话数;
3、一本书一页的印刷错误数;
4、生产中每条牛仔裤上缝纫的瑕疵数等等。

二、连续型分布

1、均匀分布

如果随机变量X的概率密度为

  则称X服从（a,b)上的均匀分布，其中a,b为两个参数，并记为X~R (a,b)(或U(a,b) ) 。

 【例4-11】根据保险协会统计,某个国家用丁汽生保险的年平均成本是691美元。假设该国汽车保险费用服从均匀分布，变化范围是200~1182美元。如果一个人在该国的汽车保险费用介于410~825美元之间，那么这种情况发生的概率是多少?
解:设X为汽车保险保险费用，则X~R（200,1182) ,其概率密度为

则 汽车保险费用介于410~825美元之间的概率为

2、指数分布

 实际场景

1.乘客在公共汽车站等待的时间;
2·在可靠性问题中，电子元件的使用寿命等等。

【例4-12】一个公司一直进行统计质量控制,对生产过程中的组件进行随机抽取并测试。从测试记录来看，一件样品残次部分的发生服从指数分布，在生产线上平均每20分钟就产生1.38个残次品。求任何两个残次品之间产生时间少于15分钟的概率。
解:设X为任何两个残次品之间产生时间，根据题意Y~E（入) ，2=1.38/20=0.069，其概率密度为

则任何两个残次品之间产生时间少于15分钟的概率为

3 、正态分布

若随机变量 X的概率密度函数为:

 其中σ>0,σ，μ为常数，则称X服从参数为σ，μ的正态分布，记为

当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，其密度函数为:

为了应用方便，常将正态分布变量X作变量变换成标准正态分布：

  【例4-13】某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量X服从正态分布，且日平均需求量为40，标准差为10件，求这种商品销售量在30~50件的概率。

 注：转化为标准正态分布来处理。