D. Madoka and The Corruption Scheme(组合数学)

Posted 2022-09-13 Harris-H

D. Madoka and The Corruption Scheme(组合数学)

主办方可以至多修改$k$次比赛结果，目的是赢的人编号最大，玩家想让最后赢的人编号最小。玩家可以选择布局(谁对谁)。

因此我们只需要让主办方可以使其赢得人的编号从小到大即可。

令主办方可以修改$x$次结果来赢的玩家个数为$f(x)$

因为进行$n$轮游戏，每轮要么胜或负，因此我们可以选择$x$个负边进行修改，这$x$个负边的位置情况有：$C(n,x)$个，因此$f(x)=C(n,x)$.

所以最后的答案就是 ：$[{\sum }_{i=1}^{min(n,k)}f(i)]+1$.

预处理阶乘逆元，线性递推。

时间复杂度：$O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e5+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = 402653189,805306457,1610612741,998244353;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define VI vector<int>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n)
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 

template <typename T>		//x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y)
	if(x<y) x=y;

template <typename T>
void cmn(T &x,T y)
	if(x>y) x=y;

// Combinatorics
#define il inline
#define rgi register int
ll ksm(ll a,ll n,ll m=mod)
	ll s=1;while(n)
		if(n&1) s=s*a%mod;
		a=a*a%mod;
		n>>=1;
	return s;

struct Comb 
	int n;
	vector<ll>fac,invfac;
	Comb(int n):n(n)
		fac.assign(n+1,0),invfac.assign(n+1,0);
		fac[0]=1;
		for(rgi i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		invfac[n]=inv(fac[n]);
		for(int i=n-1;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%mod;		
	
	il ll C(int n,int k)
		if(n<0||k<0||n<k) return 0LL;
		return fac[n]*(invfac[k]*invfac[n-k]%mod)%mod;
	
	il ll inv(ll n)
		return ksm(n,mod-2);
	
;
int main()
	Comb cb(N-1);
	int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);
	ll ans=1;
	k = min(n,k);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		ans=(ans+cb.C(n,i))%mod;
	
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;