[LeetCode]剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列

Posted 2022-09-09 Spring-_-Bear

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：

	 5
    / \\
   2   6
  / \\
 1   3

示例 1：

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例 2：

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

提示：

• 数组长度 <= 1000

题解一：

递归分治：根据二叉搜索树的定义，可以通过递归，判断所有子树的 正确性 （即其后序遍历是否满足二叉搜索树的定义） ，若所有子树都正确，则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

递归解析：

• 终止条件： 当 i >= j，说明此子树节点数量 <= 1 ，无需判别正确性，因此直接返回 true

• 递推工作：

  1. 划分左右子树： 遍历后序遍历的 [i, j] 区间元素，寻找第一个大于根节点 的节点，索引记为 m 。此时，可划分出左子树区间 [i, m−1] 、右子树区间 [m, j - 1] 、根节点索引 j
  2. 判断是否为二叉搜索树：
     • 左子树区间 [i, m - 1] 内的所有节点都应小于 postorder[j]。而第 1 步划分左右子树步骤已经保证左子树区间的正确性，因此只需要判断右子树区间即可
     • 右子树区间 [m, j-1] 内的所有节点都应大于 postorder[j] 。实现方式为遍历，当遇到小于 postorder[j] 的节点则跳出；则可通过 p = j 判断是否为二叉搜索树

• 返回值： 所有子树都需正确才可判定正确，因此使用 与逻辑符 && 连接。

	/**
     * 剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列
     */
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) 
        return recur(postorder, 0, postorder.length - 1);
    

    private boolean recur(int[] postorder, int i, int j) 
        if (i >= j) 
            return true;
        

        // 找第一个大于根节点的节点，索引记为 m,，可划分出左子树区间 [i, m−1]、右子树区间 [m, j-1]、根节点索引 j
        int p = i;
        while (postorder[p] < postorder[j]) 
            p++;
        

        // 右子树区间 [m, j-1] 内的所有节点都应大于 postorder[j] 
        int m = p;
        while (postorder[p] > postorder[j]) 
            p++;
        

        // 分治
        return p == j && recur(postorder, i, m - 1) && recur(postorder, m, j - 1);
    

题解二：

辅助单调栈解法

后序遍历：左、右、根；后序遍历倒序：根、右、左

设后序遍历倒序列表为 [r_n, r_n-1, …, r₁]，遍历此列表，设索引为 i，若为二叉搜索树，则有：

1. 当节点值 r_i > r_i+1 时，节点 r_i 一定是 r_i+1 的右子节点
2. 当节点值 r_i < r_i+1 时，节点 r_i 一定是某节点 root 的左子节点，且 root 为节点 r_i+1, r_i+2, …, r_n 中值大于且最接近 r_i 的节点

当遍历时遇到递减节点 r_i < r_i+1，若为二叉搜索树，则对于后序遍历中节点 r_i 右边的任意节点 r_x ∈ [r_i-1, r_i-2, …, r₁]，必有节点值 r_x < root

节点 r_x 只可能为以下两种情况：

1. r_x 为 r_i 的左、右子树各节点
2. r_x 为 root 的父节点或更高层父节点的左子树的各节点。在二叉搜索树中，以上节点都应小于 root

遍历 “后序遍历的倒序” 会多次遇到递减节点 r_i，若所有的递减节点 r_i 对应的父节点 root 都满足以上条件，则可判定为二叉搜索树。

根据以上特点，考虑借助单调栈实现：

1. 借助一个单调栈 stack 存储值递增的节点
2. 每当遇到值递减的节点 r_i，则通过出栈来更新节点 r_i 的父节点 root
3. 每轮判断 r_i 和 root 的值关系：
   • 若 r_i > root 则说明不满足二叉搜索树定义，直接返回 false
   • 若 r_i < root 则说明满足二叉搜索树定义，则继续遍历

	/**
     * 剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列
     */
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) 
        // 单调栈 stack 存储值递增的节点
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int root = Integer.MAX_VALUE;
        
        // 遍历后序遍历倒序序列
        for (int i = postorder.length - 1; i >= 0; i--) 
            if (postorder[i] > root) 
                return false;
            
            // 找到最接近 postorder[i] 的 root 值
            while (!stack.isEmpty() && stack.peek() > postorder[i]) 
                root = stack.pop();
            
            stack.push(postorder[i]);
        
        return true;
    

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof