数学建模十三问

Posted 2022-09-09 turingbooks

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学建模十三问相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

“人们只看到他们想看到的东西”，心理学中将这种现象称为知觉选择性。知觉选择性，是指个体根据自己的需要与兴趣，有目的地把某些刺激信息或刺激的某些方面作为知觉对象，而把其他事物作为背景，进行组织和加工的过程。

——题记

2017 年以来，有幸和多个国家和地区的老师和学生讨论中学阶段尤其是高中阶段数学建模的资源、目标、发展和瓶颈，在讨论中作为一线教师也深切的感受到中国大陆地区的老师和校长们对于中学数学建模教育的一些疑惑。这些疑惑是合理的，甚至是必要的，凸显出当前基础教育尤其是数学教育（包括公立和私立）发展中的重大问题。发展中的问题一定要在发展中解决，所以不是急着发一些文件、说一些理念、立几面旗帜就能解决的。但是一些基本问题还是需要有一些讨论。

本文的作用不在于解答，也不在于提问，而在于呈现——将很多人一直埋在心里没有问、不愿问、不肯问和不敢问的问题放在纸面上，形成一个讨论的基础——本文针对这些问题的所有意见，均是一个受过专业数学训练的一线教育工作者和改革实践者的切身理解，不是解答更不是指导，最多可以算作抛砖引玉。

问题 1：没感觉到数学在现实中有什么用？

意见 1： 首先我们定义一下什么叫“有用”。当然，学生考试能靠数学考个高分考上一个好大学，的确是“有用”，但是数学作为一个伴随人类文明成长起来的一级学科，它的创立初衷和发展方向肯定不应该只是“考试有用”，而是面对社会生产生活的有用——具体的说，就是在各项社会事务中的优化、决策和设计中的“有用”。

面对这样的“有用”的定义，数学有用吗？这个问题如果是电视台记者拿着话筒问所有数学教师，得到的答案肯定都是“有用”。但是具体“怎么有用”，又有一部分人说不上来。这是为什么呢？是因为连同一线教师在内的很多人没有见过真的必要的数学应用。

数学不是“数木棍有多少根”，不是“称重量挑选坏的桃子”，不是“预测明天午饭我要吃什么”，这些问题就算能用数学去解决，也没有必要用数学去解决，数学的重要性不是体现在这些问题的解决上。有很多现实问题是非数学不可察不可解的问题，比如“图片去雾霾”、“证明生物链的必要性”、“传染病的发展趋势”、“小区交通路线的设计”、“专家意见的调和”等等。这些问题用高中课标内的数学都可以获得很好的解决，但是在教学中我们都会选择无视，因为高考还没有考——这是后面的另一个现实的问题。

想要让老师和学生感觉到数学真正的处用，至少需要做三件事：

开发一定量的利用高中课标知识解决现实问题的案例和练习，而且要求是只能借助数学才能解决的问题；
从教材、习题和考试中去掉人为编纂、假设不合理或者没有必要用数学就能很好解决的假问题（例如“小明匀速爬山多长时间到山顶”这样的问题）；
开设开放的网络平台，让学生和老师有机会将自己提出或解决的问题分享出去，建设“提问 → 解决 → 分享”的学术生态。

问题 2：数学建模是不是解应用题？

意见 2： 各位都在超市见过那种包好的半成品菜，里面有洗好切好的食材和精准到毫克的黄金比例调料，只需要回到家用锅炒一下即可展现出标准化流程和后现代计划工业的风味。

这种菜其实很好，方便了都市里忙碌的人们，也便于初学者学习做菜。

但是如果有人问你：如果只会处理这些半成品方便菜，算不算会做菜？我想一般人的回答肯定是否定的。

因为“会做菜”是一个复合定义，包括：会挑菜、懂搭配、善刀工、能调味、精口感等一系列次级技能。这样才能以“会做菜”的身份为客人或家人做一桌上得了台面的佳肴。

学习数学也是一样，仅仅会做那些已经把数学结构都提取出来、没有任何不良结构、只有唯一标准化解答的应用题，不能算是学会了用数学解决问题。

如果非要比较的话，数学建模 ≈ 出应用题+做应用题+检验结果是否符合实际+修订题目+针对新问题得到更符合现实的解答+周而复始以上过程。

有人可能会抬杠：我如果仅仅是为了温饱，不做酒席也不要上台面，是不是会处理半成品包装菜就可以了？

那么当你买回来的菜按照说明书做出了一股奇怪的难以言表的味道时，你是该质疑菜的品质然后去维权呢？还是该表示“这道菜可能其实就应该是这个味道吧我反正也不知道应该是什么味道的算了”呢？

就算一个人将来不从事数学应用事业，但是按照信息时代的发展他的职业也多少会和数学或数学周边产品搭边，那时候受过一定的数学建模教育，起码可以做到不那么容易上当受骗。

图 1 超市货柜上的半成品方便菜.

问题 3：数学建模是不是在瞎扯淡？

意见 3：我曾听过有老师说“数学建模就是瞎扯淡”。我觉得有一定道理，因为如下三类数学建模就是在瞎扯淡。

第一类：现在的社会上，为了职称的晋升，发论文、做项目都要求实证研究，有些研究人员没有实证研究，但是还希望能把论文写出实证研究的味道，于是就拼凑数据、做假数据，甚至先有结论后分析数据，拿数学建模硬为自己本不牢靠的“研究结论”凑“科学范”。这就是在完完全全的瞎扯淡。

第二类：有些教育机构，尤其是市面上最近几年发展迅猛的以各种所谓的先进教育理念武装自己其实就是为了盈利的某某学校、某某学院们，他们宣称自己研发了大量的 STEM 课程，并且在里面为了体现 M（Mathematics）的使用，就让孩子们用火柴棍搭桥数火柴的个数。这种挂羊头买狗肉的课程就是在完完全全的瞎扯淡。

第三类：有些一线教师，公立和私立的都有，为了班级或学校的宣传，安排学生用数学去解决一些现实问题。这本来是非常好的事情。但是学生一旦得到了一个结果，就被大肆宣传，被誉为小小科学家、小小明星，却没有人从专业的角度给孩子“泼泼冷水”、告诉孩子他该如何检验结果和现实还有哪些差距、还可以从哪里改进、如何更加有效地使用学过的数学知识，导致孩子做了一个粗浅的结果就戛然而止，做项目前水平是什么样，之后还是什么样，还莫名其妙地被扣上了一顶“雏鹰”的帽子，还以为搞学术就是这样糊弄一下就可以了。这种因为目的不纯将好事半途而废反倒干坏了的数学建模，不仅是在瞎扯淡，而且贻害无穷！

图 2 全球最“经典”的“STEM 教学案例”木棍搭桥.

问题 4：数学建模对于学习数学有多大帮助？

意见 4： 数学建模是学习数学的最好伴侣。这里举一个具体的例子来说明：大家都学习过函数，这是高中最基本的概念。但是为什么数学家当初要定义函数？同时，对于初等数学来说，不定义函数，只用代数式的计算就可以完成绝大多数的问题（尤其是高考题这种考试题），为何我们还要在高中学习函数呢？

在函数之前，数学中是没有结构来描述因果律的：A 是 B 的原因，B 是 C 的原因，我们能说 A 是 C 的原因吗？不能！因为 A 的结果可能不仅仅是 B，而是 B1、B2、B3，而其中 B1 的结果中有 C、D、E、F，所以我们可以说 A 是 B 的原因、B 是 C 的原因，但是却不能说 A 是 C 的原因，因为很有可能 A 是否发生，C 都会发生，A 也很可能只是 C 发生的一个次要因素。

但是没有因果律就无法进行因果结构的推演，所以函数和映射的概念应运而生。回忆：函数要求不能一对多，但是可以多对一，也就意味着数学上用函数承载因果结构时，可以考虑“多个原因可以造成同一个结果”的事情而不可考虑“一个原因造成多个结果”的事情。

但是这样无法描述客观世界啊！因为确实有“一个原因会造成多个结果”这种事情。于是概率论就出现了，尤其是 20 世纪初概率论的严格化，将“一个原因造成多个结果”，本质上变为了“从低维到高维的带有坐标权重的向量值映射”。

所以现在，你还觉得概率论和函数论是两个东西吗？

回到数学建模，数学建模中充满了对于知识本源和原理的构成性挖掘。在数学建模的过程中，学生不得不思考和体会“这个概念为什么这样定义”、“这个概念和那个概念有什么联系”、“为什么是这样定义的而非那样定义的”等关乎数学素养的关键问题。

很可惜，同样的机会，在中学阶段，通过其它渠道不可能达成。

问题 5：数学建模是不是就是搞课外活动？

意见 5： 数学建模可以是课外活动的形式，也可以是课内教学的形式，关键看目的是什么？如果是为了让学生综合使用这个学期学过的数学知识，独立地解决自己身边的现实问题，那么用一个数学建模项目去替换掉部分传统假期作业，作为一个假期活动，就是一个非常合理和可靠的出口。

如果是为了让学生应用最近这个单元的知识来解决某些问题的子问题，那么就非常适合作为课上的一道小题目让学生尝试。这个题目可以编排为传统练习题目的形式，也可以作为课堂活动的主题。这时候的数学建模就不是为了“学以致用”，而是为了“用以致学”，利用这个题目可以将最近所学的知识和之前学过的知识进行巩固、联络和重组。

问题 6：数学建模如何融入日常教学？

意见 6： 数学建模要想融入日常教学，任务形式很关键。如下两种类型适合日常教学采纳：

分散型：将某个大的数学建模任务按照所用的数学知识和方法分散编排为若干子任务，并将每个子任务作为相应教学单元的课堂练习，在所有这些子任务都解决完之后，再用一节课联合为一个大任务的解决方案。类似于：某个国外的科学家将自己的研究课题拆分为若干子问题穿插在课程教学中，最后期末时宣布“同学们，你们这个学期所有的课堂练习加到一起，证明了某个数学中新的定理”。
集中型：对于某些技巧性比较强，但是用到的知识点比较单一，需要学生对这块课内知识理解非常深刻才能从容解决的数学建模案例，就需要作为一个 3-4 课时的小单元来讲授。这样更容易让学生体会数学研究和相应知识板块的整体味道。

图 3 著名的药剂量模型特别适合拆分为三个子课题

分别在初等函数、数列、导数三章作为课堂练习给出。

问题 7：为什么高中一线老师面对数学建模比高中生表现出更多的为难情绪？

意见 7： 原因有如下三点：

教师大多已成家，工作任务外家务也很繁重，在长久紧张而无缝隙的劳作节奏中，渐渐丧失了学习的热情、对自然和社会规律的好奇；
面对一个新的现实问题，教师和学生都是新手，面对相同的困难。尤其当教师在数学建模中的经验不足的情况下更是如此，往往思考得没有学生迅速、全面，会形成心理压力；
很多老师没有接触过数学建模，缺少相关经验和知识，难以对学生形成有效指导。

解决办法有如下三点：

降低学校教师的负担，假期里不要总搞各种名目的培训，将课余时间还给老师，让老师们得以有时间学习、践行“活到老学到老”。
“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”，这句话其实是给老师说的。老师们只要放下了这个心理包袱就会发现，其实在学术上承认某些方面不如学生，并不是一件丢人的事，反而会让学生对老师更加亲近和尊敬。
丰富给老师们的数学建模教辅资料，让一部分老师先走起来，然后带动更多的老师走起来，走类似改革开放的道路，用先进促“后劲”。

图 4 教学相长不应该仅成为一句口号.

问题 8：数学建模缺少强劲的功利驱动怎么办？

意见 8： 我曾听过有人（不是学生）抱怨：学生不是“圣人”，我们不能让他们做对升学和高考没有直接利益的事情。

但是往往不是学生不想做，而是学校和家长不让学生做。至少现在像北京这种一线城市的学生心里想的更多的并不只是上清华念北大、要高考考到全区前多少名，也希望将来有更好的发展。更何况数学建模已经进入课标和考纲，数学建模的学习和考试本身不仅没有冲突，而且大有裨益。很多孩子即使明知道没有任何功利作用，依然愿意投身数学建模的学习。数学建模是他们将来一定会在工作岗位上面对的一道门槛，从学生的发展角度来说，才应该去学习数学建模等对未来发展有长久好处的事情。

更何况，现在数学建模已经作为课程标准写进国家教材，学习数学建模不是额外的课外负担，反而会帮助学生更好地理解数学的定义、定理、公式、方法的来龙去脉。

很多时候学校和老师所考虑的角度，不全是为学生的角度，只是对学校和老师有利的角度。

问题 9：数学建模对于老师的职称发展没有帮助怎么办？

意见 9： 为什么社会对于中学教师的认知都是“三十年如一日”？为什么中学教师的社会地位明显不高？如今中学教师中的博士、硕士学历者比比皆是，但是这种现象依然没有改善。

造成这两个问题的原因之一，就是教师把自己的发展，天然地放在了熬年份、熬职称上，觉得作为教师就不能有更进一步的发展，就不能站在更大的舞台上发挥作用，就不能跳出职称的排队序列上做自己。

我不是说职称制度完全不好，但是至少作为教师，应该具有更加丰富、多彩、开放的发展路径，这样才能教出有血有肉有激情有热爱学生。

图 5 职称只是职业发展的一个方面，更重要的寻找自身的价值.

问题 10：STEM 教育中的数学是不是数学建模？

意见 10： 本来应该是。但是到目前为止我看到的所有国内外 STEM 教学案例中，还没有见过任何真正做到的。当前 STEM 教学案例中的“M”，大多还是停留在“数个数”、“拼形状”、“算成本”等幼齿阶段。

严格地讲，STEM 中的 M 应该泛指数学，但是 STEM 要求将数学和其它学科结合起来。数学建模是结合的链条，它起到传递、处理、分析、挖掘、翻译跨学科信息的作用。

问题 11：学生做的数学建模习作应该如何指导？

意见 11： 当学生做了一个数学建模习作，不管是论文、算法还是研究报告，可做如下指导：

组织相关学生的讨论班，让学生报告他的研究过程和结果；
在报告当中随时就其研究过程中的疏漏和错误提出质疑；
指导其汇总、分析这些疏漏和错误，给出改良建议或研究策略建议；
指导学生将改进后的成果（必须包括：模型的假设、模型的符号化演绎、模型是否符合现实的检验、模型的修订及再精进过程、模型的适用性分析，但可不限于此）通过网站、论文传播给更多的人，最好能提供实用机会。

问题 12：学好数学建模有什么必备条件？

意见 12： 有三个必备条件：