Polygon zkEVM Arithmetic状态机

Posted 2022-08-31 mutourend

1. 引言

Polygon zkEVM中将某类特定的计算表示为状态机。
Arithmetic状态机为Polygon zkEVM的6个二级状态机之一，主要由2大部分组成：

• 1）Executor部分：有2个版本，javascript版本 和 C/C++版本。https://github.com/0xPolygonHermez/zkevm-proverjs/tree/main/src/sm/sm_arith。
• 2）验证规则集（a set of verification rules）程序部分：以PIL语言实现，见 https://github.com/0xPolygonHermez/zkevm-proverjs/blob/main/pil/arith.pil。

Polygon zkEVM的Arithmetic状态机主要是基于Secp256K1椭圆曲线E（$y^2=x^3+7$，基域为$p=2^{256}-2^{32}-2^9-2^8-2^7-2^6-2^4-1$）上的如下运算：

• 1）域内加法和乘法等运算：$x_1\cdot y_1+x_2=y_2\cdot 2^{256}+y_3$。若$y_1=0$，则表示的是field addition运算；若$x_2=0$，则表示的是field multiplication运算。
• 2）椭圆曲线点加运算：椭圆曲线上2个不同点$P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2)$，$x_1\ne x_2$,$P+Q=(x_3,y_3)$计算为：
  $x_3=s^2-x_1-x_2,$
  $y_3=s(x_1-x_3)-y_1$
  其中$s=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。
• 3）椭圆曲线点倍加运算：椭圆曲线上点$P=(x_1,y_1)$，,$2P=P+P=(x_3,y_3)$计算为：
  $x_3=s^2-2x_1,$
  $y_3=s(x_1-x_3)-y_1$
  其中$s=\frac{3x_1^2}{2y_1}$。

将以上运算以约束形式表示为：
$\begin{array}{r}{\text{EQ}}_0:\\ {\text{EQ}}_1:\\ {\text{EQ}}_2:<\end{array}$