常见数据结构——完全二叉树(定义特征节点个数的判断以及C++简单实现)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了常见数据结构——完全二叉树(定义特征节点个数的判断以及C++简单实现)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
完全二叉树
完全二叉树
1、定义
完全二叉树是由满二叉树而引出来的,若设二叉树的深度为h
,除第 h 层外
,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数(即1~h-1层为一个满二叉树)
,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。
- 若一棵二叉树至多只有最下面两层的结点的度数可以小于2,并且最下层的结点都集中在该层最左边的若干位置上,则此二叉树为完全二叉树。
以下都不是完全二叉树
2、特征
叶子结点只可能在最下面的两层上出现,对任意结点,若其右分支下的子孙最大层次为L
,则其左分支下的子孙的最大层次必为L或L+1
;
出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储,其存储结构如下:
var tree : array[1...n] of object; n:integer; n>=1
对于tree,有如下特点:
(1)若i为奇数且i>1,那么tree[i]的左兄弟为tree[i-1];
(2)若i为偶数且i<n,那么tree[i]的右兄弟为tree[i+1];
(3)若i>1,tree[i]的双亲为tree[i div 2];
(4)若2*i<=n,那么tree[i]的左孩子为tree[2*i];若2*i+1<=n,那么tree[i]的右孩子为tree[2*i+1];
(5)若i>n/2,那么tree[i]为叶子结点(对应于(3));
(6)若i<(n-1)/2,那么tree必有两个孩子(对应于(4));
(7)满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树;
(8)完全二叉树第i层至多有2^(i-1)个节点,共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。
完全二叉树叶子结点数的算法
可以根据公式进行推导,假设n0是度为0的结点总数(即叶子结点数)
,n1是度为1的结点总数
,n2是度为2的结点总数
:
由二叉树的性质可知:n0=n2+1
,而n=n0+n1+n2
(其中n为完全二叉树的结点总数)
由上述公式把n2消去得:n=2n0+n1-1
,由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1,
由此得到n0=(n+1)/2或n0=n/2
,就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。
具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1或ceil(log2(n+1))
证明:设所求完全二叉树的深度为k。
由完全二叉树定义可得:
- 1、
深度为k
可以得到:完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树
,一共有2^(k-1)-1个结点
。 - 2、由于完全二叉树深度为k,故第k层上还有若干个结点,因此该完全二叉树的结点个数:
n>2^(k-1)-1
。 - 3、由二叉树的性质可知:
n≤2^(k)-1
,即:2^(k-1)-1<n≤2^k-1
- 4、由此可推出:
2^(k-1)<≤n≤2k
,取对数后有:k-1<log2n≤k
由于k-1和k是相邻的两个整数,故有k-1=floor(log2n)
,由此即得:k=floor(log2n)+1
。
3、C++简单实现完全二叉树的节点个数
完全二叉树的节点个数
- 思路:满二叉树节点个数为
2^n-1
个 - (1)
情况1
、遍历此二叉树右子树的左边界,如果左边界到达二叉树的最后一层,则此二叉树的左子树是满的。节点个数为2^(n-1 ) +1
,也就是左子树的节点个数加上当前节点的个数。 - (2)
情况2
、如果左边界没有到达最后一层,则右子树肯定是满的,只不过层数得减一。
#include <iostream>
#include <stack>
struct Node
int value;
Node* left;
Node* right;
Node(int value):
value(value), left(nullptr), right(nullptr)
;
void preOrderRecur(Node* head) //前序遍历
if (head == nullptr)
return;
std::cout << head->value << ",";
preOrderRecur(head->left);
preOrderRecur(head->right);
int getMostLevel(Node* node, int curlevel) //得到最左子树的深度
while (node != nullptr)
curlevel++;
node = node->left;
return curlevel - 1;//这里表达的意思,减1,应该就是把根节点对应的层数减掉,
//下面的程序有补充加上根节点数量的过程。
//node当前节点,curlevel代表在第几层,depth二叉树的最大深度
int cbtNode(Node* node, int curlevel, int depth)
if (curlevel == depth) //相当于只有根节点一个
return 1;
if (getMostLevel(node->right, curlevel + 1) == depth) //情况1
//整体是以node为头的二叉树的节点个数。这里的curlevel + 1已经把node对应的节点层数加上去了。
return (1 << (depth - curlevel)) + cbtNode(node->right, curlevel + 1, depth);
else //情况2
return (1 << (depth - curlevel - 1)) + cbtNode(node->left, curlevel + 1, depth);
int cbtTotalNode(Node* head)
if (head == nullptr)
return 0;
return cbtNode(head, 1, getMostLevel(head, 1));
int main()
Node* head = new Node(1);
head->left = new Node(2);
head->right = new Node(3);
head->left->left = new Node(4);
head->left->right = new Node(5);
head->right->left = new Node(6);
std::cout << "==============recursive==============";
std::cout << "\\npre-order: ";
preOrderRecur(head);
std::cout << "\\n";
int cbt_total_nodes = cbtTotalNode(head);
std::cout << cbt_total_nodes << std::endl;
return 0;
以上是关于常见数据结构——完全二叉树(定义特征节点个数的判断以及C++简单实现)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章