最大流问题

Posted 2023-04-13

参考技术A 图中括号外的数字代表允许容量，括号内的数字代表了实际流量。
解法步骤：
（1）在已知可行流基础上，通过标号寻找增广链。
正向寻找非饱和弧，若无正向，寻找反向非0弧。

（2）修改增广链上的流量，非增广链的流量不变，得到新的可行流。（调整量取最小值）
上图中看到调整量 [6，2，2]中最小的是2。
（3）调整后，擦除原标记，重新搜寻增广链。

（4）重新搜寻增广链。

调整量[4，1，1，1]最小是1，所以调整后得到

（5）之后不断寻找后，直到无法标号，即不存在增广链，此可行流就为最大流，此处为14。

从s开始还能往下寻找非饱和的节点，归为和s一个集合。

看另一个例题：

寻找增广链，即不断寻找正向（流出）非饱和边，如果没有的话看是否有逆向（流进）非0边。
逆向边修改流量的时候减少之。

v1到v5这个逆向边最多减少3个单位流量。
修改后：

继续寻找增广链：

最大流 W = 5 + 4 + 2 = 11
最小割集 (Vs, V1), (Vs, V2), (Vs, V6)

洛谷 P4015 运输问题 最小费用最大流+最大费用最大流

s向仓库i连ins(s,i,a[i],0)，商店向t连ins(i+m,t,b[i],0)，商店和仓库之间连ins(i,j+m,inf,c[i][j])。建两次图分别跑最小费用最大流和最大费用最大流即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000005,inf=1e9;
int n,m,h[N],cnt=1,dis[N],fr[N],ans,s,t,a[105],b[105],c[105][105];
bool v[N];
struct qwe
{
    int ne,no,to,va,c;
}e[N<<2];
int read()
{
    int r=0,f=1;
    char p=getchar();
    while(p>‘9‘||p<‘0‘)
    {
        if(p==‘-‘)
            f=-1;
        p=getchar();
    }
    while(p>=‘0‘&&p<=‘9‘)
    {
        r=r*10+p-48;
        p=getchar();
    }
    return r*f;
}
void add(int u,int v,int w,int c)
{
    cnt++;
    e[cnt].ne=h[u];
    e[cnt].no=u;
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].va=w;
    e[cnt].c=c;
    h[u]=cnt;
}
void ins(int u,int v,int w,int c)
{//cout<<u<<" "<<v<<" "<<w<<endl;
    add(u,v,w,c);
    add(v,u,0,-c);
}
bool spfa1()
{
    queue<int>q;
    for(int i=s;i<=t;i++)
        dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    v[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        v[u]=0;
        for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
            if(e[i].va>0&&dis[e[i].to]>dis[u]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].c;
                fr[e[i].to]=i;
                if(!v[e[i].to])
                {
                    v[e[i].to]=1;
                    q.push(e[i].to);
                }
            }
    }
    return dis[t]!=inf;
}
bool spfa2()
{
    queue<int>q;
    for(int i=s;i<=t;i++)
        dis[i]=-inf;
    dis[s]=0;
    v[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        v[u]=0;
        for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
            if(e[i].va>0&&dis[e[i].to]<dis[u]+e[i].c)
            {
                dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].c;
                fr[e[i].to]=i;
                if(!v[e[i].to])
                {
                    v[e[i].to]=1;
                    q.push(e[i].to);
                }
            }
    }
    return dis[t]!=-inf;
}
void mcf()
{//cout<<"OK"<<endl;
    int x=inf;
    for(int i=fr[t];i;i=fr[e[i].no])
        x=min(x,e[i].va);
    for(int i=fr[t];i;i=fr[e[i].no])
    {
        e[i].va-=x;
        e[i^1].va+=x;
        ans+=x*e[i].c;
    }
}
int main()
{
    m=read(),n=read();
    s=0,t=n+m+1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            c[i][j]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ins(s,i,a[i],0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ins(i+m,t,b[i],0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            ins(i,j+m,inf,c[i][j]);
    while(spfa1())
        mcf();
    printf("%d\n",ans);
    memset(h,0,sizeof(h));
    cnt=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ins(s,i,a[i],0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ins(i+m,t,b[i],0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            ins(i,j+m,inf,c[i][j]);
    while(spfa2())
        mcf();
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}