关于向量值函数方程变分的一点注记

Posted 2022-08-08 陆嵩

关于向量值函数方程变分的一点注记

有人说，自己做的都是标量解函数的偏微分方程变分，当遇到解函数是向量值函数时，就不知道有限元空间怎么取，变分也不知道怎么做了。其实是一样的，我这里做个注记。

预备知识

矩阵内积

矩阵内积（Frobenius 含义下的）定义为：
$$A:B=\sum _{i,j}{a}_{ij}{b}_{ij}$$
它表示的是矩阵的对应位置相乘最后再求和。

对于矩阵内积，我们有如下性质，

• $DA:B=A:D^{T}B$
• $AD:B=A:B{D}^T$
• $A:DB=D^{T}A:B$
• $A:BD=A{D}^T:B$

它从如下表达很容易看出：
$$A:B=\mathrm{tr}\left(A^{T}B\right)=\mathrm{tr}\left(A{B}^T\right)$$

函数向量的梯度

为了方便和统一，我们以后记标量的梯度是个列向量，而矢量的梯度是个矩阵，每一行都表示矢量的某个分量的梯度，即，形如：
$$\nabla \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc}{f}_x^1& f_y^1& f_z^1\\ f_x^2& f_y^2& f_z^2\end{array}\right)$$
有些地方，关于矢量梯度的定义差一个转置。那么，拉普拉斯算子为：
$$\Delta \mathbf{f}=\left(\begin{array}{c}\Delta f_{}^1\\ \Delta f_{}^2\end{array}\right)$$

有些人的这两个的定义跟我这里的定义差一个转置。做问题搞程序的时候，要搞清楚有没有转置。

向量值有限元空间

类似于标量函数的有限元空间，考虑向量值函数有限元空间，以二维向量值为例，可以定义为:
$$\mathbf{V}=\mathrm{span}\left[\begin{array}{c}{\phi }_1\\ 0\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}{\phi }_m\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_1\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_m\end{array}\right]:=\mathrm{span}\left({\varphi }_i\right)$$

常数矩阵可穿算子

所有用到常矩阵 $\mathbf{D}$ 的地方，是可以随意进出梯度和散度算子的，即 ${\nabla }_{}\mathbf{Du}=\mathbf{D}{\nabla }_{}\mathbf{u}$ ，且 $\mathrm{div}\mathbf{Du}=\mathbf{D}\mathrm{div}$ 。再 一个对于矩阵的散度和梯度算子，是支持分块矩阵的操作的。

举个简单的例子

有了以上的准备，我们举个简单的例子来看向量值解的方程的变分，
我们考虑这样一个例子:

$$\begin{array}{l}{u}_t-d_{uu}{\Delta }_{}u-d_{uv}{\Delta }_{}v=au(1-u)-b\frac{uv}{u+\alpha }\\ v_t-d_{vu}{\Delta }_{}u-d_{vv}{\Delta }_{}v=c\frac{uv}{u+\alpha }-dv\end{array}$$

令 $\mathbf{u}=[u,v{]}^T$ ，那么上面的方程组可以写为:
$${\mathbf{u}}_t$$

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