模型降阶方法之 POD
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了模型降阶方法之 POD相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
模型降阶方法之 POD
POD 方法是 PCA 在更一般的函数空间的推广，POD 是 PCA 的一般化，PCA 是 POD 的特例。
文章目录
从简单的例子说起
例子一
我们考虑一个向量值常微分方程组（ ODEs ）：
d
u
1
d
t
+
u
1
=
f
1
d
u
2
u
2
+
u
2
=
f
2
d
u
3
d
t
+
u
3
=
f
1
\\left\\\\beginarrayl \\fracd u_1d t+u_1=f_1 \\\\ \\fracd u_2u_2+u_2=f_2 \\\\ \\fracd u_3d t+u_3=f_1 \\endarray\\right.
⎩
⎨
⎧dtdu1+u1=f1u2du2+u2=f2dtdu3+u3=f1
我们认真观察可以发现，这个 ODEs 是具有冗余的，也就是说，
u
3
=
u
1
u_3=u_1
u3=u1，我们只要求解前两个方程（约化方程）：
d
u
1
d
t
+
u
1
=
f
1
d
u
2
u
2
+
u
2
=
f
2
\\left\\\\beginarrayl \\fracd u_1d t+u_1=f_1 \\\\ \\fracd u_2u_2+u_2=f_2 \\\\ \\endarray\\right.
dtdu1+u1=f1u2du2+u2=f2
再令
u
3
=
u
1
u_3 = u_1
u3=u1 就可以了，削减了计算的复杂度。那么，如何从第一个方程组到第二个方程组呢？事实上，增加一个辅助矩阵，就可以把第一个方程表达组表达为：
(
1
0
0
1
1
0
)
(
d
u
1
d
t
d
u
2
d
t
)
+
(
1
0
0
1
1
0
)
(
u
1
u
2
)
=
(
1
0
0
1
1
0
)
(
f
1
f
2
)
\\left(\\beginarrayll 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\endarray\\right)\\left(\\beginarrayl \\fracd u_1d t\\\\ \\fracd u_2d t \\endarray\\right)+\\left(\\beginarrayll 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\endarray\\right)\\left(\\beginarrayl u_1 \\\\ u_2 \\endarray\\right)=\\left(\\beginarrayll 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\endarray\\right)\\left(\\beginarrayl f_1 \\\\ f_2 \\endarray\\right)
⎝
⎛101010⎠
⎞(dtdu1dtdu2)+⎝
⎛101010⎠
⎞(u1u2)=⎝
⎛101010⎠
⎞(f1f2)
左右两边再左乘矩阵
V
T
:
=
(
1
0
0
1
1
0
)
T
V ^T:=\\left( \\beginarrayll 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\endarray\\right)^T
VT:=⎝
⎛101010⎠
⎞T
便可得到方程：
2
d
u
1
d
t
+
2
u
1
=
2
f
1
d
u
2
u
2
+
u
2
=
f
2
\\left\\\\beginarrayl 2\\fracd u_1d t+2u_1=2f_1 \\\\ \\fracd u_2u_2+u_2=f_2 \\\\ \\endarray\\right.
以上是关于模型降阶方法之 POD的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章