函数连续，函数可微，函数可导，偏导数存在，偏导数连续之间的关系

Posted 2022-06-17 liujc_love

1、可导

     即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。

     如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导定义：

（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。

        即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数

2、连续

     函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0)

     定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。

3、可微

        定义：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx

当x= x0时，则记作dy∣x=x0.

可微条件：
       必要条件： 若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
       充分条件： 若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

4、可积函数定义

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

函数可积的充分条件

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

可积的必要条件：

被积函数在闭区间上有界。

总结：
对于一元函数：
函数连续 不一定 可导   例如y=|x|
 可导  一定  连续           即连续是可导的必要不充分条件，可导是连续的充分不必要条件
函数可导必然可微
    可微必可导               即可导是可微的必要充分条件