矩阵论 & 图论期末考试复习思维导图

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了矩阵论 & 图论期末考试复习思维导图相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

矩阵论

第一章

核域(解空间)、值域?

n(A) = dim N(A) = n - rank(A)
n(A):核空间的维数,也称为零度

rank(A) = dim R(A)

证是否为线性空间、子空间

加法封闭性
数乘封闭性
八条性质(重点是零元、负元)

任何一个元素 + 零元 等于其本身
任何一个元素 + 负元 等于 零元

博客:(2)

  • 非空
  • 加法、数乘封闭
  • 八条性质?

求一个向量关于一组基的坐标

列出方程等式 再进行求解

求过渡矩阵

求子空间的基?

求子空间的维数?

重点:(5)线性子空间

解空间的基、维数?

习题1 第6题

第二章

记住 施瓦茨不等式

内积定义的证明?

四个条件:
对称性
结合性
数乘
非负

内积、模

(a,a) = |a|^2

齐次方程解法、非齐次方程解法

求标准正交积!!

前提是找出一组基
再进行正交化

向量的内积!!

(a,a) = a^T a

第三章

线性变换在基下的矩阵?

线性变换的核域、值域!

(11):线性变换的矩阵表示

线性变换的特征值、特征向量!

找出这个线性变换对于的矩阵A
求A进行变换 求解 找出初等解系
记得设特征向量(基础的)

特征值与特征向量的关系

求矩阵的标准形!

就是求 smith标准形
12):相似形理论

一般还是 先求 D1 D2 D3
再求出d1 d2 d3

证明两个矩阵相似(难点!!)

习题三 例题13

(12):相似形理论

定理3.3.11

  • 两个矩阵相似
  • 与一个对角阵相似

证明方阵相似于对角阵

(13):Hamliton-Cayley定理、最小多项式

m(\\lambda)无重根

求若当标准形J(难点!)

习题三 15题

找初等因子

求相似变换矩阵P 使得PAP^-1 = J(难点!)

利用Hamliton-Cayley定理 简化算式

习题三 题23

求最小多项式

线性变换定义

等价

补充

难题

  • 课本 例题 P54 例12
  • 习题三 P65 例16
  • 习题三 P65 例4

概念

  • 正定二次型

  • 行列式因子、不变因子、初等因子

    行列式因子就是 D
    不变因子就是 d
    初等因子 就是 所有d中的因子(可能会有重复的)

  • 伴随矩阵

  • 多项式的幂

    (a+b)^k = ??

  • 零化多项式

  • 谱范数

    其实就是矩阵的 2 范数

  • 单纯矩阵

    n阶方阵相似于对角阵 称其为单纯矩阵

  • 实对称正定阵

    A = P^T P

第四章

向量范数的证明

非负性
齐次性
三角不等式

矩阵范数的证明

非负
齐次
三角不等式
相容性

向量范数

  • 1范数
  • 2范数
  • ∞范数

矩阵范数(记忆!)

(15):矩阵的范数

  • m1范数

    A中每个元素先求模 再求和

  • m∞范数

    n 乘以 最大元素的模

    注意这里的n是方阵的行数或列数

  • F- 范数(m2范数)

    所有元素模的平方 再求和

    再对和进行开方

  • 1范数

    对每一列元素取模再求和,然后找出各列模总和中最大的一个值

  • 2范数

    找出A^HA中的最大特征值 再开方

  • ∞范数

    对每一行元素取模再求和,然后找出各行模总和中最大的一个值

第五章

求矩阵的微分、积分

求e^At、G(A)

令需要求解的方程为G(A)
列出特征方程
求出d
从而得到 最小多项式m(\\lambda)
再根据最小多项式设未知方程(这里次数要降一次)
一个未知数需要一个方程 方程数量不够利用微分求导来凑
求解方程组即可

  • 方法一:对角?
  • 方法二:若当?
  • 方法三:待定系数

齐次微分方程组的解!

非齐次微分方程组的解!

第六章

LU分解(!)

A=LU

L:下三角矩阵
U:上三角矩阵

也称为A的三角分解

分解形式不唯一

  • 可逆方阵的LU分解

    A=LU

    A的各阶顺序主子式不等于0

    有唯一的LU分解

    L:单位下三角矩阵 主对角元素全为1(注意这里是单位下三角)
    U:上三角矩阵

    求解过程:

    先对A进行初等行变换(右边补充单位阵E)

    使得左边变为上三角矩阵U

    然后再对右边求逆矩阵 得到L

  • 可逆方阵的LDU分解

    A的各阶顺序主子式不等于0 则有唯一的LDU分解

    L:单位下三角
    U:单位上三角
    D:对角阵

    先对A扩充为增广矩阵(A,E)

    进行初等行变换 得到(A1,L1) 其中A1是上三角 L1是单位下角

    对L1求逆矩阵 得到L:单位下三角

    然后对A1再进行填充 得增广矩阵(这次是列填充)(A1|E)

    然后进行初等列变换 使得A1变为对角阵 得到(D|U1)

    D就是需要的对角阵

    然后再对U1进行求逆 得到U

  • 不可逆方阵的拟LU分解

    • 引言:A可逆时 但顺序主子式不全为非0时

      对A的行进行重排 使得顺序主子式全为非0

      行重排 相当于 A左乘一个初等矩阵P

      再对PA进行LU分解或LDU分解

      即 PA=LU 或 PA=LDU

    • A不可逆时 即R(A)=r < n

      首先保证前r阶顺序主子式全非0

      然后再进行正常的LU分解(步骤一样)

      若前r阶顺序主子式有0时

      则需要先进行重排

      使得前r阶顺序主子式全非0

      再进行LU分解

  • 不可逆方阵的拟LDU分解

    首先保证前r阶顺序主子式全非0

    然后再进行正常的LDU分解(步骤一样)

    若前r阶顺序主子式有0时

    则需要先进行重排

    使得前r阶顺序主子式全非0

    再进行LDU分解

谱分解

列出特征多项式
求解特征值
分别求出特征值对应的特征向量
所有特征向量组成P
求出P^-1

  • 概念:单纯矩阵?

    方阵A可以相似于对角阵

  • 概念:谱分解

  • 重点:求A的谱分解

    列出A的特征多项式
    求出特征值
    求出特征值对应的特征向量
    组成P
    再求P^-1
    依据特征值对应的重根数划分P和P^-1
    得到S_i
    最后结果为\\sum \\lambda_i S_i

最大秩分解

A = CD

C:列满秩
D:行满秩

步骤:
先对A进行初等行变换 得行最简形A2
得到rank(A)=r
取A中前r列为C A2中前r行为D(易错:c是从A中取 D是从最简行矩阵中取!)

最大秩分解不唯一| A = CD 不唯一

但D^H (DDH)-1 (CHC)-1C^H 唯一

  • 形式:A=CD
  • 重点:化为行最简形

QR分解

先进行最大秩分解
对C进行标准正交化 得到Q
利用A=QR 变形 R= Q^HA 得到R

因为A=CD不唯一 故A=QR也不唯一

  • 形式:A=QR

    Q^HQ = E
    rank® = r = rank(A) 说明R是行满秩

  • 注意:列满秩和行满秩的情况

    列满秩时(一般是这样 高个子)
    A = QR
    Q^H Q = E
    R为具有正对角元素的上三角阵
    R : r * r

    行满秩(矮个子)
    A = LQ
    Q^HQ = E
    L: m * r
    L为具有正对角元素对下三角阵

  • R的求法?

    A = QR
    Q^H Q = E
    =>
    R = Q^H A

第七章

A-

AGA = A

称G为A的广义逆矩阵

G = A^(i) \\in Ai

A^(i):满足第i个方程的一个矩阵
Ai:满足第i个方程的所有矩阵

A1 就是A-

A-不唯一

  • A- 推导

  • A- 求解过程(重点!)

    对A进行初等行、列变换
    用P、Q分别记录其变换过程

    最后 A = Q X P

    其中X是大小是和原来A相反的
    比如A是3 * 4 则X为 4 * 3

    除了E_r外,其他用变量填充

  • A-的性质

    • 左逆
    • 右逆

A+

先将A进行最大秩分解为 A = CD

再代入A+公式进行计算

相容线性方程组的通解

  • 形式1

    A- y + (E - A- A )z

  • 形式2

    A+ y + (E - A+ A) z

相容线性方程组的最小范数解(必考)

A+y

不相容线性方程组的最小二乘解

A_l^-y 是最小二乘解

A_l^- \\in A1,4

不相容线性方程组的极小最小二乘解(必考)

A+y

第八章

特征值上界?

  • 复矩阵
  • 实矩阵

圆盘定理?

  • 行对角占优
  • 列对角占优

盖尔定理

谱半径的估计?


图论

第一章

图的三要素

握手定理

同构?

  • 定义
  • 判定??

图运算

  • 删点运算
  • 删边运算
  • 并运算
  • 交运算
  • 差运算?
  • 对称差(或环和运算)

图的矩阵表示

  • 邻接矩阵

    • 无向图的邻接矩阵
    • 有向图的邻接矩阵
    • 加权有向图的带权邻接矩阵
  • 关联矩阵??

    • 无向图的关联矩阵
    • 有向图的关联矩阵
  • 边矩阵

第二章

通路、道路、路径的定义??

连通?

  • 顶点之间的连通???
  • 图连通
  • 连通片??

  • 定义

  • 长度?

    • 奇圈
    • 偶圈

顶点之间的距离

有向通路

  • 有向道路

  • 有向路径

    • 有向圈
  • 有向回路

半通路

强连通、单向连通、弱连通

有向图中

  • 完备回路
  • 完备通路
  • 完备半通路

强连通片(或强连通分图)

  • 定义
  • 树叶
  • 森林或林
  • 平凡树

生成树?

生成树的个数

Caylay公式

生成树算法

  • 破圈法
  • 避圈法

最小生成树

  • 定义

  • 算法

    • Kruskal算法

      先边按权从小到大排列
      再从小到大选 不构成圈即可

    • Prim算法

第三章

点断集

  • 定义?

  • 连通度?

    最小点断集中顶点的数目

    • 有点断集
    • 无点断集
    • 不连通
    • 平凡
  • 割点

  • k-连通图

边断集

  • 定义

  • 边连通度

    • 有边断集
    • 无边断集
    • 不连通
    • 平凡
  • 割边

  • k-边连通图

门格尔定理(Menger)??

课本 P39

Whiteney定理????

课本 P39

割边

割集??

割点

Harary算法?

课本 P45

概念

无向图、有向图、混合图

环、重边

简单图

完备图(K_n)

完备二部图(K_m, n)

平凡图

空图

边集为空

n阶图

顶点数为n

(n,m)图

顶点数为n 边数为m

边的重数

连接两个相同顶点的边的数量

子图

顶点、边都是原顶点、边的子集

生成子图

顶点保留原图顶点 边取子集

顶点导出子图、边导出子图

K-正则图

每个顶点的度数都是k

正则图的阶数

阶数就是顶点数

偶图

其实就是二部图

图的直径

两顶点之间的最大距离

未掌握/易错

二部图的充要条件

G不含奇圈

G是树的充要条件?

(5)

  • G无环…

    且任何两个顶点之间有唯一的路径

  • G连通…

    E = V - 1

  • G连通…

    且对G的任一边,G-e不连通

  • G无圈…

    且 E = V - 1

  • G无圈…

    对任意一个e = uv \\notin E(G) G+e恰好有一个圈

G是连通图,e \\in E, 则e是割边的充要条件?

e不含在圈中

G连通的充要条件?

G有生成树

G连通,G是树的充要条件

G的每条边都是G的割边

设T是连通图G的一颗生成树,对T的每条边e有

余树 T- 不含 G的割集
T-+e 含G的唯一割集

树T的顶点v是T的割点的充要条件

d(v) >= 2

一个图有理想匹配的必要条件

偶数个顶点

四定理

H图的充分、必要、充要条件

  • 必要条件
  • 充分条件
  • 充要条件

图同构的必要条件

两图的顶点数、边数相等
次数相同的顶点数也相等

G是非空连通图

P109

  • G是欧拉图
  • G无奇次顶点

G有欧拉道路的充要条件

G最多只有两个奇次顶点

G是可嵌平面图的充要条件

G可在球面上嵌入

  • answer - 1

    G在球面上可嵌入

  • answer - 2

    不含K5 k3 3 的任何细分

G是平面图的充要条件

G中无可收缩到K5 或 K33 的子图

计算题

Dijkstra算法

Floyd算法

匈牙利算法

  • 求理想匹配
  • 求最大匹配

Kuhn-munkres算法

P86

求最大权理想匹配

若需要求最小权理想匹配 使用一个大数减去所有元素

寻找欧拉巡回

寻找一个权最小的巡回

  • 是欧拉图时

    • Fleury算法
    • Hierholzer算法
  • 不是欧拉图时

    • 正好有两个奇次顶点

    • 最小对集法(2n个奇次顶点)

      P117

      求出奇次顶点的最短距离
      寻找奇次顶点的最小权匹配 (注意使用大数减去 一般就枚举就可以了)
      将M添加至原图G
      求欧拉巡回

TSP近似算法

  • Christofides最小权匹配算法

    P134

  • 二边逐次修正法

    P142

  • 求最佳H圈的权的下界

    P143

可平面化算法

P164

证明方法

最长路径法

数学归纳法

  • 第一类
  • 第二类

第四章

Dijkstra算法

Floyd算法

第五章

匹配?

  • 定义???
  • M渗透点??
  • M非渗透点??
  • M交错路径???
  • M可增长路径??

理想匹配??

最大匹配???

四定理

  • Berge定理
  • Hall定理???
  • Konig定理???
  • Tutte定理??

t条件??

覆盖???

极小覆盖???

最小覆盖???

第六章

欧拉图

  • 无向欧拉图

    • 巡回??
    • 欧拉巡回
    • 欧拉图
    • 欧拉道路
  • 有向欧拉图

    • 有向巡回
    • 有向欧拉巡回
    • 有向欧拉图
    • 有向欧拉道路
  • Fleury算法?

  • Hierholzer算法?

  • 最小对集算法 Edmonds算法(重点)

哈米尔顿图??

  • H路径???

  • H圈???

  • 定义

  • 必要条件

  • 充分条件

    • Dirac定理
  • 充要条件???

    • 定理6.7
    • 定理6.8
  • 图的闭包

流动推销员问题

  • 最佳H圈??

    权最小的哈米尔顿圈

  • 最佳推销员回路???

    经过每个顶点至少一次的权最小闭通路

TSP近似算法

  • 构造型

    • Christofides最小权匹配算法
  • 改进型

    • 二边逐次修正法
  • 求最佳H圈的下界

第七章

平面图

  • 可嵌平面图

    图G可以嵌入平面

  • G的平面嵌入

    可嵌平面图G 嵌在平面中形成的图 称为G的平面嵌入

欧拉公式

  • 面的定义??

  • 面集

  • 面的数目

  • 面的周界??

    顶点 + 边

  • 欧拉公式表示

对偶图

  • 画法?

  • 面f的次数??

    周界中边的数目
    割边算两次!

库拉托夫斯基定理

  • K5 和 K(3,3) 都是非平面图

  • 细分???

    将G的某些边换成路径

  • 可嵌平面图的充分必要条件(库拉托夫斯基定理)??

  • 初等收缩??

  • 瓦格纳定理??

可平面性算法

  • 桥???

    • 定义
    • 附着点
  • 可嵌平面图

  • 可嵌平面子图

  • G-可接受的平面嵌入

  • 可展??

  • 可平面性算法(重点)

以上是关于矩阵论 & 图论期末考试复习思维导图的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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