矩阵论 & 图论期末考试复习思维导图

Posted 2022-06-14 海轰Pro

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵论 & 图论期末考试复习思维导图相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

矩阵论

第一章

核域（解空间）、值域？

n(A) = dim N(A) = n - rank(A)
n(A):核空间的维数，也称为零度

rank(A) = dim R(A)

证是否为线性空间、子空间

加法封闭性
数乘封闭性
八条性质（重点是零元、负元）

任何一个元素 + 零元等于其本身
任何一个元素 + 负元等于零元

博客：（2）

非空
加法、数乘封闭
八条性质？

求一个向量关于一组基的坐标

列出方程等式再进行求解

求过渡矩阵

求子空间的基？

求子空间的维数？

重点：（5）线性子空间

解空间的基、维数？

习题1 第6题

第二章

记住施瓦茨不等式

内积定义的证明？

四个条件：
对称性
结合性
数乘
非负

内积、模

(a,a) = |a|^2

齐次方程解法、非齐次方程解法

求标准正交积！！

前提是找出一组基
再进行正交化

向量的内积！！

(a,a) = a^T a

第三章

线性变换在基下的矩阵？

线性变换的核域、值域！

（11）：线性变换的矩阵表示

线性变换的特征值、特征向量！

找出这个线性变换对于的矩阵A
求A进行变换求解找出初等解系
记得设特征向量（基础的）

特征值与特征向量的关系

求矩阵的标准形！

就是求 smith标准形
12）：相似形理论

一般还是先求 D1 D2 D3
再求出d1 d2 d3

证明两个矩阵相似（难点！！）

习题三例题13

（12）：相似形理论

定理3.3.11

两个矩阵相似
与一个对角阵相似

证明方阵相似于对角阵

（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式

m(\\lambda)无重根

求若当标准形J（难点！）

习题三 15题

找初等因子

求相似变换矩阵P 使得PAP^-1 = J（难点！）

利用Hamliton-Cayley定理简化算式

习题三题23

求最小多项式

线性变换定义

等价

补充

难题

课本例题 P54 例12
习题三 P65 例16
习题三 P65 例4

概念

正定二次型
行列式因子、不变因子、初等因子

行列式因子就是 D
不变因子就是 d
初等因子就是所有d中的因子（可能会有重复的）
伴随矩阵
多项式的幂

(a+b)^k = ??
零化多项式
谱范数

其实就是矩阵的 2 范数
单纯矩阵

n阶方阵相似于对角阵称其为单纯矩阵
实对称正定阵

A = P^T P

第四章

向量范数的证明

非负性
齐次性
三角不等式

矩阵范数的证明

非负
齐次
三角不等式
相容性

向量范数

1范数
2范数
∞范数

矩阵范数（记忆！）

（15）：矩阵的范数

m1范数

A中每个元素先求模再求和
m∞范数

n 乘以最大元素的模

注意这里的n是方阵的行数或列数
F- 范数（m2范数）

所有元素模的平方再求和

再对和进行开方
1范数

对每一列元素取模再求和，然后找出各列模总和中最大的一个值
2范数

找出A^HA中的最大特征值再开方
∞范数

对每一行元素取模再求和，然后找出各行模总和中最大的一个值

第五章

求矩阵的微分、积分

求e^At、G(A)

令需要求解的方程为G(A)
列出特征方程
求出d
从而得到最小多项式m(\\lambda)
再根据最小多项式设未知方程（这里次数要降一次）
一个未知数需要一个方程方程数量不够利用微分求导来凑
求解方程组即可

方法一：对角？
方法二：若当？
方法三：待定系数

齐次微分方程组的解！

非齐次微分方程组的解！

第六章

LU分解（！）

A=LU

L：下三角矩阵
U：上三角矩阵

也称为A的三角分解

分解形式不唯一

可逆方阵的LU分解

A=LU

A的各阶顺序主子式不等于0

有唯一的LU分解

L：单位下三角矩阵主对角元素全为1（注意这里是单位下三角）
U：上三角矩阵

求解过程：

先对A进行初等行变换（右边补充单位阵E）

使得左边变为上三角矩阵U

然后再对右边求逆矩阵得到L
可逆方阵的LDU分解

A的各阶顺序主子式不等于0 则有唯一的LDU分解

L：单位下三角
U：单位上三角
D：对角阵

先对A扩充为增广矩阵(A,E)

进行初等行变换得到(A1,L1) 其中A1是上三角 L1是单位下角

对L1求逆矩阵得到L：单位下三角

然后对A1再进行填充得增广矩阵（这次是列填充）（A1｜E）

然后进行初等列变换使得A1变为对角阵得到(D｜U1)

D就是需要的对角阵

然后再对U1进行求逆得到U
不可逆方阵的拟LU分解
- 引言：A可逆时但顺序主子式不全为非0时
  
  对A的行进行重排使得顺序主子式全为非0
  
  行重排相当于 A左乘一个初等矩阵P
  
  再对PA进行LU分解或LDU分解
  
  即 PA=LU 或 PA=LDU
- A不可逆时即R(A)=r < n
  
  首先保证前r阶顺序主子式全非0
  
  然后再进行正常的LU分解（步骤一样）
  
  若前r阶顺序主子式有0时
  
  则需要先进行重排
  
  使得前r阶顺序主子式全非0
  
  再进行LU分解
不可逆方阵的拟LDU分解

首先保证前r阶顺序主子式全非0

然后再进行正常的LDU分解（步骤一样）

若前r阶顺序主子式有0时

则需要先进行重排

使得前r阶顺序主子式全非0

再进行LDU分解

谱分解

列出特征多项式
求解特征值
分别求出特征值对应的特征向量
所有特征向量组成P
求出P^-1
…

概念：单纯矩阵？

方阵A可以相似于对角阵
概念：谱分解
重点：求A的谱分解

列出A的特征多项式
求出特征值
求出特征值对应的特征向量
组成P
再求P^-1
依据特征值对应的重根数划分P和P^-1
得到S_i
最后结果为\\sum \\lambda_i S_i

最大秩分解

A = CD

C：列满秩
D：行满秩

步骤：
先对A进行初等行变换得行最简形A2
得到rank(A)=r
取A中前r列为C A2中前r行为D（易错：c是从A中取 D是从最简行矩阵中取！）

最大秩分解不唯一｜ A = CD 不唯一

但D^H (DD^H)-1 (C^HC)-1C^H 唯一

形式：A=CD
重点：化为行最简形

QR分解

先进行最大秩分解
对C进行标准正交化得到Q
利用A=QR 变形 R= Q^HA 得到R

因为A=CD不唯一故A=QR也不唯一

形式：A=QR

Q^HQ = E
rank® = r = rank(A) 说明R是行满秩
注意：列满秩和行满秩的情况

列满秩时（一般是这样高个子）
A = QR
Q^H Q = E
R为具有正对角元素的上三角阵
R : r * r

行满秩（矮个子）
A = LQ
Q^HQ = E
L: m * r
L为具有正对角元素对下三角阵
R的求法?

A = QR
Q^H Q = E
=>
R = Q^H A

第七章

A-

AGA = A

称G为A的广义逆矩阵

G = A^(i) \\in Ai

A^(i)：满足第i个方程的一个矩阵
Ai：满足第i个方程的所有矩阵

A1 就是A-

A-不唯一

A- 推导
A- 求解过程（重点！）

对A进行初等行、列变换
用P、Q分别记录其变换过程

最后 A = Q X P

其中X是大小是和原来A相反的
比如A是3 * 4 则X为 4 * 3

除了E_r外，其他用变量填充
A-的性质
- 左逆
- 右逆

A+

先将A进行最大秩分解为 A = CD

再代入A+公式进行计算

相容线性方程组的通解

形式1

A- y + (E - A- A )z
形式2

A+ y + (E - A+ A) z

相容线性方程组的最小范数解（必考）

A+y

不相容线性方程组的最小二乘解

A_l^-y 是最小二乘解

A_l^- \\in A1,4

不相容线性方程组的极小最小二乘解（必考）

A+y

第八章

特征值上界?

复矩阵
实矩阵

圆盘定理?

行对角占优
列对角占优

盖尔定理

谱半径的估计?

图论

第一章

图的三要素

握手定理

同构？

定义
判定??

图运算

删点运算
删边运算
并运算
交运算
差运算？
对称差（或环和运算）

图的矩阵表示

邻接矩阵
- 无向图的邻接矩阵
- 有向图的邻接矩阵
- 加权有向图的带权邻接矩阵
关联矩阵？?
- 无向图的关联矩阵
- 有向图的关联矩阵
边矩阵

第二章

通路、道路、路径的定义？?

连通？

顶点之间的连通???
图连通
连通片??

圈

定义
长度？
- 奇圈
- 偶圈

顶点之间的距离

有向通路

有向道路
有向路径
- 有向圈
有向回路

半通路

强连通、单向连通、弱连通

有向图中

完备回路
完备通路
完备半通路

强连通片（或强连通分图）

树

定义
树叶
森林或林
平凡树

生成树？

生成树的个数

Caylay公式

生成树算法

破圈法
避圈法

最小生成树

定义
算法
- Kruskal算法
  
  先边按权从小到大排列
  再从小到大选不构成圈即可
- Prim算法

第三章

点断集

定义？
连通度？

最小点断集中顶点的数目
- 有点断集
- 无点断集
- 不连通
- 平凡
割点
k-连通图

边断集

定义
边连通度
- 有边断集
- 无边断集
- 不连通
- 平凡
割边
k-边连通图

门格尔定理（Menger）？?

课本 P39

Whiteney定理？???

课本 P39

割边

割集？？

割点

Harary算法？

课本 P45

概念

无向图、有向图、混合图

环、重边

简单图

完备图（K_n）

完备二部图（K_m, n）

平凡图

空图

边集为空

n阶图

顶点数为n

(n,m)图

顶点数为n 边数为m

边的重数

连接两个相同顶点的边的数量

子图

顶点、边都是原顶点、边的子集

生成子图

顶点保留原图顶点边取子集

顶点导出子图、边导出子图

K-正则图

每个顶点的度数都是k

正则图的阶数

阶数就是顶点数

偶图

其实就是二部图

图的直径

两顶点之间的最大距离

未掌握/易错

二部图的充要条件

G不含奇圈

G是树的充要条件？

（5）

G无环…

且任何两个顶点之间有唯一的路径
G连通…

E = V - 1
G连通…

且对G的任一边，G-e不连通
G无圈…

且 E = V - 1
G无圈…

对任意一个e = uv \\notin E(G) G+e恰好有一个圈

G是连通图，e \\in E，则e是割边的充要条件？

e不含在圈中

G连通的充要条件？

G有生成树

G连通，G是树的充要条件

G的每条边都是G的割边

设T是连通图G的一颗生成树，对T的每条边e有

余树 T- 不含 G的割集
T-+e 含G的唯一割集

树T的顶点v是T的割点的充要条件

d(v) >= 2

一个图有理想匹配的必要条件

偶数个顶点

四定理

H图的充分、必要、充要条件

必要条件
充分条件
充要条件

图同构的必要条件

两图的顶点数、边数相等
次数相同的顶点数也相等

G是非空连通图

P109

G是欧拉图
G无奇次顶点
…

G有欧拉道路的充要条件

G最多只有两个奇次顶点

G是可嵌平面图的充要条件

G可在球面上嵌入

answer - 1

G在球面上可嵌入
answer - 2

不含K5 k3 3 的任何细分

G是平面图的充要条件

G中无可收缩到K5 或 K33 的子图

计算题

Dijkstra算法

Floyd算法

匈牙利算法

求理想匹配
求最大匹配

Kuhn-munkres算法

P86

求最大权理想匹配

若需要求最小权理想匹配使用一个大数减去所有元素

寻找欧拉巡回

寻找一个权最小的巡回

是欧拉图时
- Fleury算法
- Hierholzer算法
不是欧拉图时
- 正好有两个奇次顶点
- 最小对集法（2n个奇次顶点）
  
  P117
  
  求出奇次顶点的最短距离
  寻找奇次顶点的最小权匹配（注意使用大数减去一般就枚举就可以了）
  将M添加至原图G
  求欧拉巡回

TSP近似算法

Christofides最小权匹配算法

P134
二边逐次修正法

P142
求最佳H圈的权的下界

P143

可平面化算法

P164

证明方法

最长路径法

数学归纳法

第一类
第二类

第四章