点和向量的平移

Posted 2020-11-18 heben

对一个点或者向量进行旋转的时候，做法是让这个点（或向量，为了叙述方便，以下只谈论点的情况，向量的情况也是一样的），乘以一个矩阵M，根据之前的知识（参考上一篇blog: https://www.cnblogs.com/heben/p/9182090.html），矩阵M是一个3X3的方阵。

 

于是点P经过旋转之后，新点P‘的坐标计算公式如下：

然而这只是旋转。要让P点能够平移，先要思考什么是平移，其实平移就是对P点的每一个坐标加上一个数字，所以带上平移的功能之后，新点P‘的坐标应该是下面这样：

 

 为了将Tx的信息能够存入M矩阵，scratchapixel介绍的方式是，为M矩阵新增一行，将Tx存储为M₃₀，将Ty存储为M₃₁，将Tz存储为M₃₂

 于是P‘坐标的计算方式就变成：

 这时M已经成为了一个4X3矩阵，为了满足矩阵的乘法，显然P点也需要改写，写成P(x, y ,z, 1)这样的形式。不过在实际编码中，并不会真的给坐标加上一个第四维度的1，而只是假装那里有个1。点P形式为(x, y, z ,1)的时候，我们称这样的点为同质点(homogeneous point)

 最后，CG中常用的M矩阵式4X4的。但这需要了解更多的知识，现在只需要知道，矩阵M由4x3变成4x4，就是新增一列，大部分情况下这一列的数值是(0, 0, 0, 1)