spojDIVCNTK

Posted 2020-11-18 yoyoball

Portal -->Spoj DIVCNTK

Solution

　　这题的话其实是。。洲阁筛模板题？差不多吧

　　题意就是给你一个函数(S_k(x))
[ S_k(n)=sumlimits_{i=1}^{n} sigma_0(i^k) ]
　　其中(sigma_0(x))表示的是(x)的约数个数，现在已知(n)和(k)求(S_k(n)) mod (2^{64})
　　
?

　　额首先(sigma_0(x))是个积性函数

　　然后我们会发现。。这个东西在素数处的取值还是很好求的
[ egin{aligned} &sigma_0(p)=2&sigma_0(p^k)=k+1&sigma_0((p^k)^q)=qk+1\\end{aligned} ]
　　那然后用(g_i)表示([1,n])的素数个数，(h_{i,j})表示(的最小质因子sumlimits_{k=2}^{i}[k的最小质因子>=P_j]sigma_0(k))

　　然后用洲阁筛（或者额。。min_25）的那种方法来搞一下就好了，具体的讲解的话传送一波好了qwq

　　Portal -->洲阁筛&min_25筛

　　具体的一些实现细节都在上面那篇讲解向博文里面了不想再打一遍了qwq

? 　　

　　因为一开始不是在spoj上面提交的。。所以写的是单组数据哈哈哈。。。
　　单组数据版的代码大概长这个样子（然而我写的貌似是min_25。。。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
ll g[MAXN*2],loc1[MAXN*2],loc2[MAXN*2],rec[MAXN*2];
int P[MAXN];
bool vis[MAXN];
ll n,m,K,cnt,Up,cntval,sq,T;
ull ans;
void prework(int n);
void init_loc();
int Pos(ll x){return x<=sq?loc1[x]:loc2[n/x];}
void get_g();
ull H(ll i,int j);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%lld%lld",&n,&K);
    sq=sqrt(n)+0.5;
    prework(MAXN);
    init_loc();
    get_g();
    ans=H(n,1)+1;
    printf("%llu
",ans);
}

void prework(int n){
    cnt=0;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!vis[i])
            P[++cnt]=i;
        for (int j=1;j<=cnt&&P[j]*i<=n;++j){
            vis[P[j]*i]=true;
            if (i%P[j]==0) break;
        }
    }
}

void init_loc(){//离散化
    cntval=0;
    for (ll i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
        rec[++cntval]=n/i;
        pos=n/(n/i);
    }
    reverse(rec+1,rec+1+cntval);
    for (int i=1;i<=cntval;++i)
        if (rec[i]<=sq) loc1[rec[i]]=i;
        else loc2[n/rec[i]]=i;
}

void get_g(){
    for (int i=1;i<=cntval;++i) g[i]=rec[i]-1;
    for (int j=1;j<=cnt&&1LL*P[j]*P[j]<=n;++j)//P的取值范围都是<sqrt(n)
        for (int i=cntval;i>=1&&rec[i]>=1LL*P[j]*P[j];--i)
            g[i]-=g[Pos(rec[i]/P[j])]-g[Pos(P[j]-1)];
}

ull H(ll i,int j){
    if (i<=1) return 0;
    ull ret=0;
    ll tmp;
    int k;
    for (k=j;k<=cnt&&1LL*P[k]*P[k]<=n&&1LL*P[k]*P[k]<=i;++k){
        tmp=P[k];
        for (int q=1;tmp<=i;tmp*=P[k],++q)
            ret+=(H(i/tmp,k+1)+1)*(q*K+1);
    }
    if (i>=P[k-1])//将i<P^2（也就是全是素数处点值的）部分算进去
        ret+=(ull)(K+1)*(g[Pos(i)]-g[Pos(P[k-1])]);
    return ret;
}