动态规划_01背包

Posted 2020-11-18 passion-sky

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

 

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

 

解决办法：声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

 

由此可以得到状态转移方程：

[cpp] view plain copy

1. if(j>=w[i])  
2.     m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
3. else  
4.     m[i][j]=m[i-1][j];  

 

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8
2	0	0	0	8	8	10	10	10	10	18	18	18
3	0	6	6	8	8	14	14	16	16	18	18	24
4	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	19	24
5	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	21	24
6	2	6	8	9	11	14	16	17	19	19	21	24

(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

[cpp] view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <cstring>  
3. using namespace std;  
4.   
5.   
6. const int N=15;  
7.   
8.   
9. int main()  
10. {  
11.     int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};  
12.     int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};  
13.   
14.   
15.     int m[N][N];  
16.     int n=6,c=12;  
17.     memset(m,0,sizeof(m));  
18.     for(int i=1;i<=n;i++)  
19.     {  
20.         for(int j=1;j<=c;j++)  
21.         {  
22.             if(j>=w[i])  
23.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
24.   
25.   
26.             else  
27.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
28.         }  
29.     }  
30.   
31.   
32.     for(int i=1;i<=n;i++)  
33.     {  
34.         for(int j=1;j<=c;j++)  
35.         {  
36.             cout<<m[i][j]<<‘ ‘;  
37.         }  
38.         cout<<endl;  
39.     }  
40.   
41.   
42.     return 0;  
43. }  

 

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）

[cpp] view plain copy

1. void traceback()  
2. {  
3.     for(int i=n;i>1;i--)  
4.     {  
5.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
6.             x[i]=0;  
7.         else  
8.         {  
9.             x[i]=1;  
10.             c-=w[i];  
11.         }  
12.     }  
13.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
14. }  

例：

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额W_k及其投资后的收益V_k如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

 

Project	Wk	Vk
A	15	12
B	10	8
C	12	9
D	8	5

结合前面两段代码

[cpp] view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <cstring>  
3. using namespace std;  
4.   
5. const int N=150;  
6.   
7. int v[N]={0,12,8,9,5};  
8. int w[N]={0,15,10,12,8};  
9. int x[N];  
10. int m[N][N];  
11. int c=30;  
12. int n=4;  
13. void traceback()  
14. {  
15.     for(int i=n;i>1;i--)  
16.     {  
17.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
18.             x[i]=0;  
19.         else  
20.         {  
21.             x[i]=1;  
22.             c-=w[i];  
23.         }  
24.     }  
25.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
26. }  
27.   
28. int main()  
29. {  
30.   
31.   
32.     memset(m,0,sizeof(m));  
33.     for(int i=1;i<=n;i++)  
34.     {  
35.         for(int j=1;j<=c;j++)  
36.         {  
37.             if(j>=w[i])  
38.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
39.   
40.             else  
41.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
42.         }  
43.     }/* 
44.     for(int i=1;i<=6;i++) 
45.     { 
46.         for(int j=1;j<=c;j++) 
47.         { 
48.             cout<<m[i][j]<<‘ ‘; 
49.         } 
50.         cout<<endl; 
51.     } 
52. */  
53.     traceback();  
54.     for(int i=1;i<=n;i++)  
55.         cout<<x[i];  
56.     return 0;  
57. }  

 

输出x[i]数组：0111，输出m[4][30]：22。

得出结论：选择BCD三个项目总收益最大，为22万元。

 

不过这种算法只能得到一种最优解，并不能得出所有的最优解。