动态规划_01背包

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划_01背包相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

0-1 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。

问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?

 

分析一波,面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。

 

解决办法:声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组,m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法,

(1). j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

(2). j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-w[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)

究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。

 

由此可以得到状态转移方程:

  1. if(j>=w[i])  
  2.     m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  3. else  
  4.     m[i][j]=m[i-1][j];  

 

例:0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时,使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j,可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2},

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1},

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0 0 0 8 8 8 8 8 8 8 8 8
2 0 0 0 8 8 10 10 10 10 18 18 18
3 0 6 6 8 8 14 14 16 16 18 18 24
4 0 6 6 9 9 14 14 17 17 19 19 24
5 0 6 6 9 9 14 14 17 17 19 21 24
6 2 6 8 9 11 14 16 17 19 19 21 24

(第一行和第一列为序号,其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品,背包容量为6时我们可以选择不拿,那么获得价值仅为第一件物品的价值8,如果拿,就要把第一件物品拿出来,放第二件物品,价值10,那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推,得到m[6][12]就是考虑所有物品,背包容量为C时的最大价值。

  1. #include <iostream>  
  2. #include <cstring>  
  3. using namespace std;  
  4.   
  5.   
  6. const int N=15;  
  7.   
  8.   
  9. int main()  
  10. {  
  11.     int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};  
  12.     int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};  
  13.   
  14.   
  15.     int m[N][N];  
  16.     int n=6,c=12;  
  17.     memset(m,0,sizeof(m));  
  18.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  19.     {  
  20.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  21.         {  
  22.             if(j>=w[i])  
  23.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  24.   
  25.   
  26.             else  
  27.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
  28.         }  
  29.     }  
  30.   
  31.   
  32.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  33.     {  
  34.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  35.         {  
  36.             cout<<m[i][j]<<‘ ‘;  
  37.         }  
  38.         cout<<endl;  
  39.     }  
  40.   
  41.   
  42.     return 0;  
  43. }  

 

到这一步,可以确定的是可能获得的最大价值,但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x[ ] 数组,x[i]=0表示不拿,x[i]=1表示拿。

m[n][c]为最优值,如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样,则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时,由x[n-1][c]继续构造最优解;当x[n]=1时,则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推,可构造出所有的最优解。(这段全抄算法书,实在不知道咋解释啊。。)

  1. void traceback()  
  2. {  
  3.     for(int i=n;i>1;i--)  
  4.     {  
  5.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
  6.             x[i]=0;  
  7.         else  
  8.         {  
  9.             x[i]=1;  
  10.             c-=w[i];  
  11.         }  
  12.     }  
  13.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
  14. }  


例:

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目,每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示,投资总额为30万元,如何选择项目才能使总收益最大?

 

Project

Wk

Vk

A

15

12

B

10

8

C

12

9

D

8

5

结合前面两段代码

  1. #include <iostream>  
  2. #include <cstring>  
  3. using namespace std;  
  4.   
  5. const int N=150;  
  6.   
  7. int v[N]={0,12,8,9,5};  
  8. int w[N]={0,15,10,12,8};  
  9. int x[N];  
  10. int m[N][N];  
  11. int c=30;  
  12. int n=4;  
  13. void traceback()  
  14. {  
  15.     for(int i=n;i>1;i--)  
  16.     {  
  17.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
  18.             x[i]=0;  
  19.         else  
  20.         {  
  21.             x[i]=1;  
  22.             c-=w[i];  
  23.         }  
  24.     }  
  25.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
  26. }  
  27.   
  28. int main()  
  29. {  
  30.   
  31.   
  32.     memset(m,0,sizeof(m));  
  33.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  34.     {  
  35.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  36.         {  
  37.             if(j>=w[i])  
  38.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  39.   
  40.             else  
  41.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
  42.         }  
  43.     }/* 
  44.     for(int i=1;i<=6;i++) 
  45.     { 
  46.         for(int j=1;j<=c;j++) 
  47.         { 
  48.             cout<<m[i][j]<<‘ ‘; 
  49.         } 
  50.         cout<<endl; 
  51.     } 
  52. */  
  53.     traceback();  
  54.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  55.         cout<<x[i];  
  56.     return 0;  
  57. }  

 

输出x[i]数组:0111,输出m[4][30]:22。

得出结论:选择BCD三个项目总收益最大,为22万元。

 

不过这种算法只能得到一种最优解,并不能得出所有的最优解。



以上是关于动态规划_01背包的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划入门:01背包问题

动态规划_01背包

动态规划01背包问题_两种解法

动态规划_背包问题

求动态规划0-1背包算法解释

动态规划中的0-1背包问题怎么去理解?要求给出具体实例和详细步骤。。。