Python分析捕食者和被捕食者模型 | 拟合求解a，b，c，d
Posted 叶庭云
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Python分析捕食者和被捕食者模型 | 拟合求解a，b，c，d相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
一、问题来源
问题来自帮朋友做的一个题，如下所示：
我主要做了：
- 可视化捕食者和被捕食者数量随时间变换情况；
- 利用 numpy 的 polyfit、poly1d 拟合数据点分别得到两个多项式方程；
- scipy求导并代入值计算；
- 等式两边的输入都有了，用多元线性回归（fit_intercept=False，不要截距）拟合数据，分别估计方程两个参数；
- 最终得到拟合的 a，b，c，d 的值；
二、引言
捕食者和被捕食者模型（Predator-Prey Model），这是生态学中非常经典的一个模型。
假设一个生态系统中有两个物种，其中一个为食草动物，两者分别构成了捕食者和被捕食者。以兔子和狐狸为例：
- x ( t ) x(t) x(t) : 狐狸的数量随时间变换的函数
- y ( t ) y(t) y(t)：兔子的数量随时间变换的函数
如果没有兔子，狐狸的数量会因为缺少食物而减少：
d
x
d
t
=
−
a
x
,
a
>
0
\\frac\\mathrmd x\\mathrm~d t=-a x, a>0
dtdx=−ax,a>0
事实上，生态系统中的兔子和狐狸存在一种互动关系，兔子的数量会因为狐狸数量的增加而减少，狐狸的数量也会因为兔子数量的减少而减少，两者之始至终都相互影响。我们用正比于两者数量的积来表示这种互动关系, 所以更精确的模型可以这样写：
d x d t = − a x + b x y \\frac\\mathrmd x\\mathrm~d t=-a x+b x y dtdx=−ax+bxy
现在考虑兔子的数量，如果没有狐狸，并且假设自然资源、空间充足，那么兔子会呈现指数式增长：
d y d t = d y , d > 0 \\frac\\mathrmd y\\mathrm~d t=d y, d>0 dtdy=dy,d>0
事实上，兔子的数量会随着狐狸数量的增加而减少，这种减少体现在两种生物的互动过程中。
结合之前的分析，我们可以得到一个综合的微分方程组：
d x d t = − a x + b x y \\frac\\mathrmd x\\mathrm~d t=-a x+b x y dtdx=−ax+bxy
d y d t = d y − c x y \\frac\\mathrmd y\\mathrm~d t=d y-c x y dtdy=dy−cxy
捕食者和被捕食者模型，这个著名的方程组也叫做 Lotka-Volterra predator-prey model。
三、Python分析
可视化捕食者和被捕食者模型随时间变换情况：
利用 numpy 的 polyfit、poly1d 拟合数据点，分别得到两个多项式方程。
scipy求导并代入值计算，等式两边的输入都有了，用多元线性回归（fit_intercept=False，不要截距）拟合数据，可以分别估计方程两个参数；最终得到拟合的 a，b，c，d 的值。
以上是关于Python分析捕食者和被捕食者模型 | 拟合求解a，b，c，d的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章