傅里叶与电阻网络

Posted 2022-05-10 卓晴

简 介： 这学期的信号与系统进展到第五章，拉普拉斯变换与 z 变换。 前几天看到一篇博文中对于无限电阻网络求解相邻节点阻抗中使用了离散傅里叶变换 (DFT) 的方法比较新颖。 分析了DFT在其中仅仅是起到描述线性时不变离散时间系统的作用，所以将其替换成 z 变换进行描述，则在分析求解过程中会更加的清晰。

关键词： z变换，DFT，电阻网络

 

§01 电阻网络

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一、问题来源

  在网文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor 中讨论了如下无穷电阻网络两个相邻节点之间的电阻。 特别有意思的是，文中还是用了离散傅里叶变换（DFT）给出了另外一种求解方式。 这不禁让人们好奇：在这样的电阻网络中分析中，离散傅里叶变换到底起到什么作用？

▲ 图1.1 一欧姆组成的无线电阻网络

二、问题求解

1、普通求解方法

  实际上，原文给出了使用普通电阻串并联分析方法， 过程也比较容易。 先假设分别从节点 (0) 和 (1) 往做和往右得到的等效电阻为 $R^{\prime }$ 。

▲ 图1.1.2 向左，向右两个半边无限电阻网络等效电阻

  由于半边电阻网络是无穷大的，所以再前进一个节点所对应的等效电阻仍然是 $R^{\prime }$ 。这样就可以得到如下等式： $$R^{\prime }=1+1//R^{\prime }=1+\frac{R^{\prime }}{1+R^{\prime }}$$ 这样便可以求解出 $R^{\prime }$ 。 上面等式化简为 $$R^{\prime 2}-R^{\prime }-1=0$$ 由此可以求得 $$R^{\prime }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

▲ 图1.1.3 半边无限电阻网络的每一级都是等效电阻R'

  那么相邻两个节点之间的电阻为
$$R=1//2\left(1//R^{\prime }\right)=1//\left(\sqrt{5}-1\right)=1-\frac{1}{\sqrt{5}}$$

▲ 图1.1.4 相邻节点之间的等效电阻

2、离散傅里叶求解

  假设每个节点都由外部施加有电流源进行激励， 分别记做为 $I\left[n\right],n=\cdots ,-1,0,1,2,\cdots$ 。对应每个节点的电压为 $V\left[n\right],n=\cdots ,-1,0,1,2,\cdots$ 。

  根据基尔霍夫节点电流定理和欧姆定理可以知道$$I\left[n\right]=\left(V\left[n\right]-V\left[n-1\right]\right)+\left(V\left[n\right]-V\left[n+1\right]\right)$$$$=3V\left[n\right]-V\left[n-1\right]-V\left[n+1\right]$$

(1-2-1)

▲ 图1.1.5 每个节点对应的电压与电流

  假设序列 $I\left[n\right],V\left[n\right]$ 所对应的离散序列傅里叶变换分别为 $I\left(\theta \right),V\left(\theta \right)$ ，则有$$I\left[n\right]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }I\left(\theta \right)e^{jn\theta }d\theta$$$$I\left(\theta \right)=\sum _{-\infty }^{+\infty }I\left[n\right]e^{-jn\theta }$$ V [ n ]