- 第五节：自动微分

Posted 2022-05-07 海轰Pro

目录

• 前言
• 2.5. 自动微分
• • 2.5.1. 标量变量的反向传播
  • 2.5.2. 非标量变量的反向传播
  • 2.5.3. 分离计算
  • 2.5.4. Python控制流的梯度计算
  • 练习
• 结语

前言

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标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，获得过国家奖学金，有幸在竞赛中拿过一些国奖、省奖…已保研。
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
唯有努力💪
 

知其然 知其所以然！

 
本文仅记录自己感兴趣的内容

2.5. 自动微分

2.5.1. 标量变量的反向传播

求函数$f(x)=2x^{T}x$对列向量$x$求导后的梯度

1. 初始化向量$x$
   
2. 设置x可计算梯度
   

requires_grad: 如果需要为张量计算梯度，则为True，否则为False

3. 计算$y=2x^{T}x$
   

dot用来计算两个向量之间内积（对应元素相乘，再累加，最终得到一个标量）

grad_fn： grad_fn用来记录变量是怎么来的，方便计算梯度（比如这里便于使用反向传播计算梯度）

4. 使用反向传播法计算梯度

理论上$f(x)=2x^{T}x$对$x$求导后结果为$4x$
初始时 $x=[0,1,2,3]$
利用$x$在$x=[0,1,2,3]$时的梯度为$4x=[0,4,8,12]$
计算得出的结果和理论值一样

5. 判断计算得出的结果和理论值是否一样

---

现在设$y=x_1+x_2+x_3+x_4$，其中$x=[x_1,x_2,x_3,x_4]$，求$x$的梯度

import torch

x = torch.arange(4.0, requires_grad = True)
y = x.sum() # 相当于 x_1 + x_2 + ... + x_n = y
y.backward()
x.grad

# tensor([1., 1., 1., 1.])

解释：对$x_1$求偏导，结果为1，同理，对$x_2、x_3、x_4$求偏导，结果都为1

注意：在默认情况下，PyTorch会累积梯度

比如多次运行y.backward()，会有

1. 第一次
   
2. 第二次
   
3. 第三次
   

解决办法：使用grad.zero_()清除梯度

这样多次运行，结果都是[1,1,1,1]

2.5.2. 非标量变量的反向传播

$y=x\ast x$ 对$x$求偏导（$x$为一个向量）

说明：

• $y=x\ast x$： 对应元素相乘，此时结果$y$是一个非标量

x = [0, 1, 2, 3] ===> x * x = [0, 1 * 1 , 2 * 2 , 3 * 3] = [0, 1, 4, 9]

为了求$x$的偏导，则需要先对$y$进行累加求和，再使用反向传播

利用 y = x * x 对$x$求导后，结果为$2x$
x = [0,1,2,3] ==> 2x = [0,2,4,6]

注：这里还是有点不懂 ？？？ 以下为书中原话：

2.5.3. 分离计算

---

若不丢弃计算图中如何计算y的任何信息，也就是不使用detach()函数

$$\begin{gathered} y=x\ast x \\ u=y \\ z=u\ast x \end{gathered}$$

等效于

$z=x\ast x\ast x$

此时z关于x求导，梯度为（此时z为非标量，需要先求和）

得到梯度为[0,3,12,27] ，与理论值$3x^2$ 吻合

---

使用detach()函数后

这里可以理解为:

• u = y.detach()使得u仅仅是一个向量[0,1,4, 9]
• z = u * x， u仅仅作为一个常向量，对x求导，得到结果为u

总结：

• 不使用detach(), 那么y是由x计算出来的，也就是可以用x的算式进行替换
• 使用detach(), u仅仅表示一个向量，仅有y的值，其它信息都无

2.5.4. Python控制流的梯度计算

大概意思：

• f(a)函数是一个分段函数，其中每一段都是线性的（直线）
• 输入a的值不同，对应不同的线段（需要经过while循环、if-else等）
• 但是最后依然是可以算出来x的梯度，不受循环等的影响
• 比如经过多次循环、if-else， 得到的a与d的对应关系为 d = 1231 * a，梯度依然可以算出来为1231
• 也就是说经过多次Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度

练习

import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l
x = torch.arange(-4.0, 4.0, 0.1, requires_grad = True)
x

y = torch.sin(x)
y.sum().backward()
x.grad == torch.cos(x)

y2 = x.grad
y2

y2_np = y2.numpy()
y2_np

x_np = x.detach().numpy()
x_np

def f(x):
    return np.sin(x)

y1_np = f(x_np)
y1_np

d2l.plot(x_np, [y1_np, y2_np], 'x', 'f(x)', legend=['sin(x)', 'cos(x)'])

结语

学习资料：http://zh.d2l.ai/

文章仅作为个人学习笔记记录，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正