2018年全国卷Ⅱ卷文科数学解析[陕]

Posted 2020-11-18 wanghai0666

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

一、选择题

№01【题文】 $i(2+3i)=$【$hspace{2em}$】
A.$3-2ihspace{4em}$ B. $3+2ihspace{4em}$ C. $-3-2ihspace{4em}$ D.$-3+2ihspace{4em}$
【解析】$i(2+3i)=-3+2i$，故选D，送分题。
【说明】文科考查复数的乘法运算，理科考查复数的除法运算。

№02【题文】 已知集合$A={1，3，5，7}$，$B={2，3，4，5}$，则$Acap B=$【$hspace{2em}$】
A.${3}hspace{4em}$ B. ${5}hspace{4em}$ C. ${3，5}hspace{4em}$ D.${1，2，3，4，5，7}hspace{4em}$
【解析】$Acap B={3，5}$，故选C，送分题。

№03【题文】 函数$f(x)=cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$图像大致是【$hspace{2em}$】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。
解法1由题目先分析函数的奇偶性，设$g(x)=e^x-e^{-x}$，则$g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)$，即函数$g(x)$为奇函数，又函数$y=x^2$为偶函数，故函数$f(x)$为奇函数，排除选项A；
再由特殊值法，令$x=3$，则估算$f(3)=cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}approxcfrac{2.7^3}{3^2}approx 2$，排除C、D；
故选B。
解法2还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；
单调性，$f‘(x)=cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})cdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}$，接下来常规方法是判断其在$x>0$时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当$x>2$时，$f‘(x)>0$，故函数$f(x)$在$(2，+infty)$上单调递增，故排除C和D，从而选B。
反思1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如$奇+奇=奇，奇 imes奇=偶，奇 imes偶=奇，奇/偶=奇$，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。
建议常见函数的奇偶性需要记忆比如，
$f(x)=|x|$，$f(x)=e^x+e^{-x}$，$f(x)=Acosomega x$都是偶函数；
$y=x^3$，$y=e^x-e^{-x}$，$y=Asinomega x$都是奇函数。

№04【题文】 已知向量$vec{a}，vec{b}$满足$|vec{a}|=1$，$vec{a}cdot vec{b}=1$，则$vec{a}cdot (2vec{a}-vec{b})=$【$hspace{2em}$】
A.$4hspace{4em}$ B. $3hspace{4em}$ C. $2hspace{4em}$ D.$0hspace{4em}$
【解析】$vec{a}cdot (2vec{a}-vec{b})=2vec{a}^2-vec{a}cdot vec{b}=2 imes1+1=3$，故选B，送分题。

№05【题文】 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率是【$hspace{2em}$】
A.$0.6hspace{4em}$ B. $0.5hspace{4em}$ C. $0.4hspace{4em}$ D.$0.3hspace{4em}$
【解析】【文科】两个男生记为$A，B$，三个女生记为$a，b，c$，则从5个同学中任选2个同学参加服务，
可以列举得出共有10种结果$(A，B)$，$(A，a)$，$(A，b)$，$(A，c)$，$(B，a)$，$(B，b)$，$(B，c)$，$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，
其中2人都是女同学的共有3种$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，，故$P=cfrac{3}{10}=0.3$，故选D，送分题。
【理科】$P=cfrac{C_3^2}{C_5^2}=cfrac{3}{10}=0.3$。
【建议】对文科学生而言，从5(6个或7个)个学生中任选2个(3个)的列举方法和结果，需要非常熟练快速准确才行。

№06【题文】 双曲线$cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$的离心率为$sqrt{3}$，则其渐近线方程为【$hspace{2em}$】
A.$y=pmsqrt{2}x hspace{4em}$ B. $y=pmsqrt{3}x hspace{4em}$ C. $y=pmcfrac{sqrt{2}}{2}x hspace{4em}$ D.$y=pmcfrac{sqrt{3}}{2}x hspace{4em}$
【解析】由已知$e=cfrac{c}{a}=sqrt{3}$，则有$c=sqrt{3}k(k>0)$，$a=k$，从而$b=sqrt{2}k$，
由$cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1$，得到其渐近线方程为$cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=0$，即$y=pmcfrac{b}{a}x=pmcfrac{sqrt{2}k}{k}x=pmsqrt{2}x$，故选A。
【建议】巧妙记忆：双曲线$cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=0$；

№07【题文】 在$Delta ABC$中，$coscfrac{C}{2}=cfrac{sqrt{5}}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=$【$hspace{2em}$】
A.$4sqrt{2} hspace{4em}$ B. $sqrt{30} hspace{4em}$ C. $sqrt{29} hspace{4em}$ D.$2sqrt{5}hspace{4em}$
【解析】由降幂升角公式得到，$cosC=2cos^2cfrac{C}{2}-1=-cfrac{3}{5}$，
再由余弦定理可得，$AB^2=AC^2+BC^2-2ACcdot BCcdot cosC$
$=25+1-2 imes 5 imes 1 imes(-cfrac{3}{5})=32$，故$AB=4sqrt{2}$，选A。

№08【题文】 为计算$S=1-cfrac{1}{2}+cfrac{1}{3}-cfrac{1}{4}+cdots+cfrac{1}{99}-cfrac{1}{100}$，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入【$hspace{2em}$】
A.$i=i+1hspace{4em}$ B. $i=i+2hspace{4em}$ C. $i=i+3hspace{4em}$ D.$i=i+4hspace{4em}$
【解法1】先按照循环次序执行看看，
$Step1，1<100，是，N=0+cfrac{1}{1}，T=0+cfrac{1}{2}$，
若$i=i+1$，
则$Step2，2<100，是，N=cfrac{1}{1}+cfrac{1}{2}，T=cfrac{1}{2}+cfrac{1}{3}$，若最后退出循环，则$S=N-T$中就没有$-cfrac{1}{2}$，故$i=i+1$错误；
若$i=i+2$，
则$Step2，3<100，是，N=cfrac{1}{1}+cfrac{1}{3}，T=cfrac{1}{2}+cfrac{1}{4}$，
则$Step3，5<100，是，N=cfrac{1}{1}+cfrac{1}{3}+cfrac{1}{5}，T=cfrac{1}{2}+cfrac{1}{4}+cfrac{1}{6}$，若最后退出循环，则$S=N-T$刚好满足题意，故$i=i+2$正确；
同理，若$i=i+3$，若$i=i+4$，最后都会推出错误，故选B；
【解法2】(此方法思维要求高些)注意到$S$中的表达式特点是一正一负相间出现，分母是连续的自然数，故$N$计算的是分母是正奇数的分数，间隔为2，$T$计算的是分母是正偶数的分数，间隔为2，最后由$S=N-T$完成组合，满足题意，故选$i=i+2$，选B；

№09【题文】 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为棱$CC_1$的中点，则异面直线$AE$与$CD$所成角的正切值为【$hspace{2em}$】
A.$cfrac{sqrt{2}}{2}hspace{4em}$ B. $cfrac{sqrt{3}}{2}hspace{4em}$ C. $cfrac{sqrt{5}}{2}hspace{4em}$ D.$cfrac{sqrt{7}}{2}hspace{4em}$
【解法1】连结$BE$，由于$CD//AB$，故$angle BAE$即为两异面直线所成的角，
令正方体的棱长为2，由$CE=1，BC=2$，可知$BE=sqrt{5}$，又对角线$AC=2sqrt{2}$，$CE=1$，则$AE=3$
在$RtDelta ABE$中，$AB=2，BE=sqrt{5}$，则$tanangle BAE=cfrac{sqrt{5}}{2}$，故选C。
【建议】1、异面直线所成的角，需要先平移其中一条，变为共面直线所成的角，如果要求其大小，可以放置在某个三角形中，通过解三角形完成；
2、棱长设为2的运算量和运算难度比棱长设为1要小一些。
【解法2】空间向量法。感觉比法1要慢一些。

№10【题文】 若$f(x)=cosx-sinx$在$[0，a]$上是减函数，则$a$的最大值是【$hspace{2em}$】
A.$cfrac{pi}{4}hspace{4em}$ B. $cfrac{pi}{2}hspace{4em}$ C. $cfrac{3pi}{4}hspace{4em}$ D.$pihspace{4em}$
【解法1】由题目可知，$f‘(x)=-sinx-cosxleq 0$在$[0，a]$上恒成立，即$sinx+cosxge 0$在$[0，a]$上恒成立，
即$sinx+cosx=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4})ge 0$在$[0，a]$上恒成立，将4个选项代入验证，满足题意的是选项C，故选C。
【解法2】图像法，做出函数图像，观察发现，$a$的最大值是$cfrac{3pi}{4}$，故选C。

№11【题文】 已知$F_1，F_2$是椭圆$C$的两个焦点，$P$是$C$上一点，若$PF_1perp PF_2$，且$angle PF_2F_1=60^{circ}$，则$C$的离心率是【$hspace{2em}$】
A.$1-cfrac{sqrt{3}}{2}hspace{4em}$ B. $2-sqrt{3}hspace{4em}$ C. $cfrac{sqrt{3}-1}{2}hspace{4em}$ D.$sqrt{3}-1hspace{4em}$
【解析】自行做出示意图，有图可知，在$RtDelta PF_1F_2$中，$angle F_1PF_2=90^{circ}$，$angle PF_2F_1=60^{circ}$，$F_1F_2=2c$，故$PF_2=c$，$PF_1=sqrt{3}c$，
由椭圆的定义可知，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，即$c+sqrt{3}c=2a$，解得$e=cfrac{c}{a}=cfrac{2}{sqrt{3}+1}=sqrt{3}-1$，故选D。
【建议】用圆锥曲线的定义解题，是高考中的一个高频考查方式。

№12【题文】已知函数$f(x)$是定义在$(-infty，+infty)$上的奇函数，满足$f(1-x)=f(1+x)$，若$f(1)=2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=$【$hspace{2em}$】。
A.$-50hspace{4em}$ B.$0hspace{4em}$ C.$2hspace{4em}$ D.$50$
【解析】先将奇函数性质改写为，$f(x)=-f(-x)①$；再将对称性$f(1-x)=f(1+x)$改写为$f(2-x)=f(x)②$，
由①②式可知，$f(2-x)=-f(-x)$，即$f(2+x)=-f(x)$，故$T=2 imes 2=4$，
这样$f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$，接下来就是重点求这些函数值；
由于函数是定义在$R$上的奇函数，故$f(0)=0$，则$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，
令$x=0$，则由$f(2-x)=-f(-x)$可得到$f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0$，即$f(2)=0$，
$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，故$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，
即所求$f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=2$，故选C
【建议】熟练掌握以下的变形和数学思想方法：
比如对称性+奇偶性$Longrightarrow$周期性的变形例子
如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(2-x)=f(x)$，
则由$egin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)end{align*}$ $Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow$周期$T=4$
奇偶性+周期性$Longrightarrow$对称性的变形例子
如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，
则由$egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)end{align*}$ $Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow$对称轴是$x=2$
对称性+周期性$Longrightarrow$奇偶性的变形例子
如，已知函数$f(x)$的周期是2，且满足$f(2+x)=f(-x)$，
则由$egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)end{align*}$ $Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow$函数$f(x)$是偶函数。

二、填空题

№13【题文】 曲线$y=2lnx$在点$(1，0)$处的切线方程是________________。
【解析】$f‘(x)=cfrac{2}{x}$，则$k=f‘(1)=2$，又切点为$(1，0)$，故切线方程为$y-0=2(x-1)$，即$y=2x-2$，送分题。
【说明】在点处的切线和过点处的切线是有很大区别的。曲线的切线

№14【题文】 若$x，y$满足约束条件$egin{cases}x+2y-5ge 0\\x-2y+3ge 0\\x-5leq 0end{cases}$，则$z=x+y$的最大值是___________。
【解析】线性规划题目中的最基础的考查题型，做出可行域，通过平移目标直线就可以作答。提示：$z_{max}=9$
还有的同学直接求出三角形可行域三个顶点坐标代入，验证得到答案，对于这类题目此方法也是可行的。但不建议用这个方法，毕竟不利于对数学本质的理解。
【建议】1、关于线性规划题目，这几年的高考题目几乎就考查到这个难度(直线的截距型)，一般我们平时训练题目难度都比这个类型要难一些，比如斜率型，距离型等。
2、建议看看这篇博文，线性规划相关

№15【题文】 已知$tan(alpha-cfrac{5pi}{4})=cfrac{1}{5}$，则$tanalpha$=______________。
【解析】本题目是三角函数求值中的给值求值类型，而且是比较简单的类型，只需要将已知条件化简，$tan(alpha-cfrac{5pi}{4})=tan(alpha-cfrac{pi}{4})=cfrac{1}{5}$，
即$tan(alpha-cfrac{pi}{4})=cfrac{tanalpha-tancfrac{pi}{4}}{1+tanalphacdot tancfrac{pi}{4}}=cfrac{tanalpha-1}{1+tanalpha}=cfrac{1}{5}$，
解方程即可得到$tanalpha=cfrac{3}{2}$。
【建议】1、三角函数中的给值求值类型，三角函数的求值
2、$tanalpha$的给出方式，$tanalpha$的各种可能给出方式

№16【题文】已知圆锥的顶点为$S$，母线$SA，SB$互相垂直，$SA$与圆锥底面所成角为$30^{circ}$，若$Delta SAB$的面积为8，则该圆锥的体积为___________。
【解析】设圆锥的母线长为$x$，底面半径为$r$，则由等腰直角三角形$S_{Delta SAB}=8=cfrac{1}{2}x^2$，解得$x=4$，
又在$RtDelta SAO$中，$SA=4$，$angle SAO=30^{circ}$，则$OA=r=2sqrt{3}$，$SO=2$
则$V=cfrac{1}{3}cdot pi r^2cdot SO=cfrac{1}{3}cdot pi (2sqrt{3})^2cdot 2=8pi$。

三、解答题

№21【题文】 题目暂略。

【解析】(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1))，

当(a=3)时，(f'(x)=x^2-3(2x+1)，) 令(f'(x)=0)，则(x=3pm 2sqrt{3})，

则(x<3-2sqrt{3})或(x>3+2sqrt{3})时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

(3-2sqrt{3}<x<3+2sqrt{3})时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

故单调递增区间为((-infty，3-2sqrt{3}))和((3+2sqrt{3}，+infty))，单调递减区间为((3-2sqrt{3}，3+2sqrt{3}))。

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