信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第三次作业-第二部分
Posted 卓晴
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封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站
作业要求链接： 信号与系统 2022 春季学期第三次作业 https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123403423
§01 参考答案（2）
1.4 求解单位冲激响应
1.4.1 必做题
（1）根据微分方程求解单位冲激响应
Ⅰ.第一小题
求解：
d
2
y
(
t
)
d
t
2
+
8
d
y
(
t
)
d
t
+
12
y
(
t
)
=
2
d
x
(
t
)
d
t
d^2 y\\left( t \\right) \\over dt^2 + 8dy\\left( t \\right) \\over dt + 12y\\left( t \\right) = 2dx\\left( t \\right) \\over dt
dt2d2y(t)+8dtdy(t)+12y(t)=2dtdx(t)
特征方程： λ 2 + 8 λ + 12 = 0 \\lambda ^2 + 8\\lambda + 12 = 0 λ2+8λ+12=0。特征根： λ 1 = − 2 , λ 2 = − 6 \\lambda _1 = - 2,\\,\\,\\lambda _2 = - 6 λ1=−2,λ2=−6。
系统的齐次解： y ( t ) = c 1 e − 2 t + c 2 e − 6 t y\\left( t \\right) = c_1 e^ - 2t + c_2 e^ - 6t y(t)=c1e−2t+c2e−6t
通过奇异函数匹配方法确定系统的初始条件。
当输入为
δ
(
t
)
\\delta \\left( t \\right)
δ(t)，可以知道方程右边最高的奇异函数导数为
δ
′
(
t
)
\\delta '\\left( t \\right)
δ′(t)。近而可以确定方程左边最高导数想的奇异函数一般表达式为：
d
2
d
t
y
(
t
)
=
a
⋅
δ
′
(
t
)
+
b
⋅
δ
(
t
)
+
c
⋅
u
(
t
)
d^2 \\over dty\\left( t \\right) = a \\cdot \\delta '\\left( t \\right) + b \\cdot \\delta \\left( t \\right) + c \\cdot u\\left( t \\right)
dtd2y(t)=a⋅δ′(t)+b⋅δ(t)+c⋅u(t)
近而：
d
d
t
y
(
t
)
=
a
⋅
δ
(
t
)
+
b
⋅
u
(
t
)
d \\over dty\\left( t \\right) = a \\cdot \\delta \\left( t \\right) + b \\cdot u\\left( t \\right)
dtdy(t)=a⋅δ(t)+b⋅u(t)
y ( t ) = a ⋅ u ( t ) y\\left( t \\right) = a \\cdot u\\left( t \\right) y(t)=a⋅u(t)
因此：
a ⋅ δ ′ ( t ) + b ⋅ δ ( t ) + c ⋅ u ( t ) + 8 ⋅ [ a ⋅ δ ( t ) + b ⋅ u ( t ) ] + 12 ⋅ a ⋅ u ( t ) = 2 ⋅ δ ′ ( t ) a \\cdot \\delta '\\left( t \\right) + b \\cdot \\delta \\left( t \\right) + c \\cdot u\\left( t \\right) + 8 \\cdot \\left[ a \\cdot \\delta \\left( t \\right) + b \\cdot u\\left( t \\right) \\right] + 12 \\cdot a \\cdot u\\left( t \\right) = 2 \\cdot \\delta '\\left( t \\right) a⋅δ′(t)+b⋅δ(t)+c⋅u(t)+8⋅[a⋅δ(t)+b⋅u(t)]+12⋅a⋅u(t)=2⋅δ′(t)
a
⋅
δ
′
(
t
)
+
(
b
+
8
a
)
δ
(
t
)
+
(
c
+
8
b
+
12
a
)
⋅
u
(
t
)
=
2
δ
′
(
t
)
a \\cdot \\delta '\\left( t \\right) + \\left( b + 8a \\right)\\delta \\left( t \\right) + \\left( c + 8b + 12a \\right) \\cdot u\\left( t \\right) = 2\\delta '\\left( t \\right)
a⋅δ′(t)+(b+8a)δ(t)+(c+8b+12a)⋅u(t)=2δ′(t)
a
=
2
b
+
8
a
=
0
c
+
8
b
+
12
a
=
0
\\left\\ \\beginmatrix a = 2\\\\b + 8a = 0\\\\c + 8b + 12a = 0\\\\\\endmatrix \\right.
⎩⎨⎧a=2b+8a=0c+8b+12a=0
所以： a = 2 b = − 16 c = 104 \\left\\ \\beginmatrix a = 2\\\\b = - 16\\\\c = 104\\\\\\endmatrix \\right. ⎩⎨⎧a=2b=−16c=104
由此可以得到：
y
′
(
0
+
)
−
y
′
(
0
−
)
=
b
=
−
16
y'\\left( 0_ + \\right) - y'\\left( 0_ - \\right) = b = - 16
y′(0+)−y′(0−)=b=−16
y
(
0
+
)
−
y
(
0
−
)
=
a
=
2
y\\left( 0_ + \\right) - y\\left( 0_ - \\right) = a = 2
y(0+)−y(0−)=a=2
系统的起始条件：
以上是关于信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第三次作业-第二部分的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章