SS-CA-APPLE：如何把初等函数扩展到复变函数？
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了SS-CA-APPLE：如何把初等函数扩展到复变函数？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
§00 问题提出
初等函数 是由 幂函数 （Power function）、 指数函数 （exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常熟经过有限次有理运算（加减乘除、有理数次方、有理数次开发）以及有限次函数复合所生，并且能够用一个解析表达式表示的函数。
在信号处理中，使用初等函数扩展后的函数表达信号可以简化信号表示的形式；注意到函数扩展后的多值性也能够帮助我们掌握信号变换公示背后的联系。
§01 数学原理
1.1 指数函数
1.1.1 定义
将普通指数函数 f ( x ) = e x f\\left( x \\right) = e^x f(x)=ex 扩展到复变函数 f ( z ) = e z f\\left( z \\right) = e^z f(z)=ez ，希望满足一下三个条件：
（1）
f
(
z
)
f\\left( z \\right)
f(z) 在复平面处处解析；
（2）
f
′
(
z
)
=
f
(
z
)
f'\\left( z \\right) = f\\left( z \\right)
f′(z)=f(z) ；
（3） 当
I
m
(
z
)
=
0
\\mathop\\rm Im\\nolimits \\left( z \\right) = 0
Im(z)=0 时，
f
(
z
)
=
e
x
f\\left( z \\right) = e^x
f(z)=ex ，其中
x
=
R
e
(
z
)
x = \\mathop\\rm Re\\nolimits \\left( z \\right)
x=Re(z) 。
定义 exp z = e z = e x ( cos y + i sin y ) \\exp z = e^z = e^x \\left( \\cos y + i\\sin y \\right) expz=ez=ex(cosy+isiny) 可以满足以上三个条件，它被称为复数 z = x + i y z = x + iy z=x+iy 的指数函数。
这个定义等价为 ∣ e z ∣ = e x , A r g ( e z ) = y + 2 k π \\left| e^z \\right| = e^x ,\\,\\,\\,Arg\\left( e^z \\right) = y + 2k\\pi ∣ez∣=ex,Arg(ez)=y+2kπ
请注意：这里的 e z e^z ez 没有了幂乘的概念，仅仅是替代 exp z \\exp z expz 的作用。
1.1.2 基本性质
（1）加法定理
跟 e x e^x ex 一样， exp z \\exp z expz 也满足加法定理
exp z 1 ⋅ exp z 2 = exp ( z 1 + z 2 ) \\exp z_1 \\cdot \\exp z_2 = \\exp \\left( z_1 + z_2 \\right) expz1⋅expz2=exp(z1+z2)
（2）周期性
指数函数具有周期特性
e
z
+
2
k
π
i
=
e
z
⋅
e
2
k
π
i
=
e
z
e^z + 2k\\pi i = e^z \\cdot e^2k\\pi i = e^z
ez+2kπi=ez⋅e