协方差与自相关

Posted 2022-04-14 麦好

协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

假设是以个标量随机变量组成的列向量，

并且是其第i个元素的期望值，即, 。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

即：

期望值分别为与的两个实数随机变量X 与Y 之间的协方差定义为：

，

其中E是期望值。它也可以表示为：

，

如果X 与Y 是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，这是因为

但是反过来并不成立，即如果X 与Y 的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。

取决于协方差的相关性η

更准确地说是线性相关性，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在[0,+1]之间。相关性η = 1时称为“完全线性相关”，此时将Y_i对X_i作Y-X 散点图，将得到一组精确排列在直线上的点；相关性数值介于0到1之间时，其越接近1表明线性相关性越好，作散点图得到的点的排布越接近一条直线。

在统计学中，特定时间序列或者连续信号 X_t 的自协方差是信号与其经过时间平移的信号之间的协方差。如果序列的每个状态都有一个平均数 E[X_t] = μ_t，那么自协方差为

其中 E 是期望值运算符。如果 X_t 是二阶平稳过程，那么有更加常见的定义：

其中 k 是信号移动的量值，通常称为延时。如果用方差 σ² 进行归一化处理，那么自协方差就变成了自相关系数R(k)，即

需要注意的是，在有些学科中自协方差术语等同于自相关。

将一个有序的随机变量系列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。

 ......... 期望值。

 ........ 在t(i)时的随机变量值。

 ........ 在t(i)时的预期值。

 .... 在t(i+k)时的随机变量值。

 .... 在t(i+k)时的预期值。

 ......... 为方差。

所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大负相关值，0为不相关。