[CTSC2017]网络
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[CTSC2017]网络相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
网络
题解
首先需要我们观察出一个结论，我们先连接的边的两个端点必然都在原树的直径上。
我们将直径这条链当作原树的"根"来看看，即所有点的子树都是相对直径的子树。
如果我们连接的两个点在直径上同一个点的子树内，那么显然我们原来最长的直径长度必然不会减小，也就是说我们的最大值不变。
如果它连接的两个点在直径的不同子树中，这是原本直径两端点的距离虽然减小了，却没有减到最小。
我们考虑将条边的端点移动到子树的根，也就是直径上的节点上，直径两端点的距离会继续减小，增大的是这两子树内节点的距离，但这个距离增大后仍然不会超过直径现在的距离，否则它就是直径了。
所以必然存在一组最优解是两个点都在原树的直径上。
考虑在这个结论的基础上怎么求答案。
显然，对于最远距离距离最短这个问题，我们可以考虑二分求解，那么我们现在就相当于需要判断我们二分出的
m
i
d
mid
mid是否合法。
判断
m
i
d
mid
mid是否合法，不就是看我们当前的最大值是否小于
m
i
d
mid
mid嘛。
由于我们选择节点只会在直径上，所以每个直径上的点我们只需要记录下来它子树内最长链的长度。
我们记点
i
i
i内的最长链长度为
d
i
d_i
di，它在直径上的位置为
L
i
L_i
Li。
对于直径上两个最长链距离大于
m
i
d
mid
mid的点，它们之间就只能走我们新连的边，我们记我们新连的边为
(
a
,
b
)
(
a
<
b
)
(a,b)(a<b)
(a,b)(a<b)，这里的
a
,
b
a,b
a,b大小是直径上的顺序，转化成数学表达式：
∀
i
,
j
(
i
<
j
∧
L
j
−
L
i
+
d
i
+
d
j
>
m
i
d
)
,
∣
L
i
−
L
a
∣
+
∣
L
j
−
L
b
∣
+
L
+
d
i
+
d
j
⩽
m
i
d
\\forall i,j(i<j\\wedge L_j-L_i+d_i+d_j>mid),|L_i-L_a|+|L_j-L_b|+L+d_i+d_j\\leqslant mid
∀i,j(i<j∧Lj−Li+di+dj>mid),∣Li−La∣+∣Lj−Lb∣+L+di+dj⩽mid我们不妨将后面的绝对值拆开一下，相当于满足
4
4
4个式子。
L
i
+
L
j
+
L
−
m
i
d
+
d
i
+
d
j
⩽
L
a
+
L
b
L
i
−
L
j
+
L
−
m
i
d
+
d
i
+
d
j
⩽
L
a
−
L
b
−
L
i
+
L
j
+
L
−
m
i
d
+
d
i
+
d
j
⩽
−
L
a
+
L
b
−
L
i
−
L
j
+
L
−
m
i
d
+
d
i
+
d
j
⩽
−
L
a
−
L
b
L_i+L_j+L-mid+d_i+d_j\\leqslant L_a+L_b\\\\ L_i-L_j+L-mid+d_i+d_j\\leqslant L_a-L_b\\\\ -L_i+L_j+L-mid+d_i+d_j\\leqslant -L_a+L_b\\\\ -L_i-L_j+L-mid+d_i+d_j\\leqslant -L_a-L_b\\\\
Li+Lj+L−mid+di+dj⩽La+LbLi−Lj+L−mid+di+dj⩽La−Lb−Li+Lj+L−mid+di+dj⩽−La+Lb−Li−Lj+L−mid+di+dj⩽−La−Lb我们可以用线段树维护出对于
i
i
i满足条件的
j
j
j，计算它们出每个
i
i
i，这四个式子左半边得到的最大值。
事实上我们需要在线段树上维护的就只有
d
i
+
L
i
d_i+L_i
di+Li与
d
i
−
L
i
d_i-L_i
di−Li的最大值。
我们得到了
L
a
+
L
b
,
L
a
−
L
b
,
−
L
a
+
L
b
,
−
L
a
−
L
b
L_a+L_b,L_a-L_b,-L_a+L_b,-L_a-L_b
La+Lb,La−Lb,−La+Lb,−La−Lb这四个式子的限制后，我们可以尝试枚举每个
a
a
a，看有没有能让满足条件的
b
b
b，如果有的话就说明对于我们这个
m
i
d
mid
mid有解。
这个排序后用指针就可以维护了，相当于看
4
4
4个集合有没有交集。
时间复杂度 O ( n log 2 n ) O\\left(n\\log^2n\\right) O(nlog2n)。
源码
也比较好写。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define luogu3761 [TJOI2017]城市