音效处理Delay/Echo 简介

Posted 2022-04-05 芥末的无奈

系列文章目录

• Delay Line 简介及其 C/C++ 实现
• LFO 低频振荡器简介及其 C/C++ 实现

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文章目录

• 系列文章目录
• 一、Delay 是什么
• 二、Delay 原理
• • 2.1 The Basic Delay
  • 2.2 Delay With Feedback
  • 2.3 Wet & Dry
• 三、Delay C/C++ 实现
• 总结
• 参考

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一、Delay 是什么

Delay（延迟）是一种信号处理技术，它将输入信号纪录起来，然后过一段时间再播放。当延迟信号与当前信号混合时，会产生类似回声（Echo）的效果。大多数人都有过在大山中大喊的经历，声音在山谷之间传递，回声余音袅袅。没错，所谓的 Echo 就是这种感觉。看下面两个对比视频，加深对 Echo 的理解：

土拨鼠的尖叫

土拨鼠的尖叫-Echo

毫无疑问，Delay 是当今市场上最强大的音乐制作工具之一。我们听到的几乎所有的调制效果都是用特定的延时创造的。

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二、Delay 原理

2.1 The Basic Delay

最简单 Delay，即输入信号与延迟信号叠加得到输出信号，差分方程如下：
$$y(n)=x(n)+x(n-D)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 $D$ 为延迟时间，更准确的说，表示延迟了 $D$ 个采样点。下图是（1）的块状图。

我们对（1）进行 Z 变换，以此来探究 Basic Delay 对频率的影响：
$$\begin{array}{rl}y(n)& =x(n)+x(n-D)\\ Y(z)& =X(z)+X(z)z^{-D}\\ & =X(z)\left(1+z^{-D}\right)\\ H(z)& =\frac{Y(z)}{X(z)}=1+z^{-D}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
从 $H(z)=1+z^{-D}$ 可以推断出它没有极点，只有 D 个零点。接下来求它的零点：
$$\begin{array}{r}1+z^{-D}=0\\ z^{-D}=-1\end{array}$$
接下来就是复数次方根的求解了，这部分内容可以参考 「珂学原理」No.110「复数的n次方根」。这里就不在重复视频提到的方法，而是利用欧拉公式求解。

让 $z=e^{j\omega }$ ，通过欧拉公式转换得到：
$$\cos (D\omega )+j\sin (D\omega )=-1$$
由于 $-1$ 为实数，无复数部分，因此可得：
$$\begin{array}{r}\cos (D\omega )=-1\\ \omega =\pm \frac{k\pi }{D}k=1,3,5,\dots ,D\end{array}$$
当 $D=2$ 时，$\omega =\pm \frac{\pi }{2}$
当 $D=4$ 时，$\omega =\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{4}$
当 $D=5$ 时，$\omega =\pm \frac{\pi }{5},\pm \frac{3\pi }{5},\pm \pi$
我们发现 D 个零点是平均分布在单位元上的，不同 D 的频谱响应如下图所示。

在 $D=32$ 时可以看到频谱响应像是一把梳子一样，此类滤波器也被称为“梳妆滤波器”。

此外，我们还可以在 Audition 上使用 Basic Delay 对扫频信号进行处理，可以看到明显的梳妆特征。

处理前：

处理后：

2.2 Delay With Feedback

Basic Delay 只能产生单一的回声，应用比较有限。大多数 Delay 算法还会包含一个反馈控制，它将延迟后的信号以一定比例送回输入，如下图所示：

假设反馈控制那一条信号为 $g(n)$，那么上图的差分方程为：
$$\begin{gathered} y(n)=x(n)+g(n) \\ \text{其中，}g(n)=x(n-D)+fg(n-D) \end{gathered}$$
进一步推导有：
$$\begin{array}{rl}y(n-D)& =x(n-D)+g(n-D)\\ g(n-D)& =y(n-D)-x(n-D)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
g ( n ) = x ( n − D ) + f g ( n − D ) = x ( n − D ) + f ( y ( n − D ) − x ( n − D ) ) = ( 1 − f ) x ( n − D ) + f y ( n − D ) 因此 y ( n ) = x ( n ) + g ( n ) = x ( n )