红黑树操作

Posted 2022-04-04 Keep--Silent

前言

AVL的插入和删除操作，会频繁地调整全树的结构，代价较大。因此，在AVL的平衡标准上放宽条件，引入红黑树。

目录

• 性质
• • 定义
  • 推论
• 插入
• • 情况一
  • 情况二
  • 情况三
  • 情况四
  • 情况五

性质

定义

①每个结点是红色或者黑色
②根结点是黑色。
③每个叶子结点都是黑色的空结点（NUUL结点）。
④不存在两个相邻的红节点。(即红节点之父和红节点之子必是黑)
⑤从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

推论

①从根节点到叶节点的最长路径不超过最短路径的两倍
②有n个内部结点的红黑树的高度$h\le 2{\log }_2(n+1)$

插入

新插入结点定义为红色，分五种情况进行操作。
先约定一下命名规则

$G$是祖父结点$Grandfather$
$P$是父节点$Parent$,$U$是叔结点$Uncle$
$N$是当前结点$NowNode,S$是兄弟结点$Sibling$
$SL$是兄弟结点的左节点$Left,SR$是兄弟结点的右节点$Right$

情况一

N为根：

N直接染黑

       

情况二

P为黑

不变

       

情况三

P为红（所以G为黑），U为红：

P染黑，U染黑，G染红，然后递归向上调整。

       

情况四

P为红（所以G为黑），U为黑，N的大小介于P和G

P旋转到N的下面（即N父为G,N子为P）,转为情况五

       

情况五

P为红（所以G为黑），U为黑，P的大小介于N和G(即一头偏)

P旋转到G的上方（即P子为NG）,P染黑，G染红