SOR迭代法实验报告c语言,数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码).doc...

Posted 2022-03-17 呐傷.已黯淡

西京学院数学软件实验任务书

课程名称

数学软件实验

班级

数0901

学号

0912020107

姓名

李亚强

实验课题

线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。

实验目的

熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。

实验要求

运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。

实验内容

线性方程组的J-迭代；

线性方程组的GS-迭代；

线性方程组的SOR-迭代。

成绩

教师

实验四实验报告

1、 实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。

2、 实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组的根，提高matlab编程能力。

3、 实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。

4、 实验原理：

1、雅可比迭代法(J-迭代法)：

线性方程组，可以转变为：

迭代公式

其中，称为求解的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令，由雅可比迭代公式有

，既有，于是，解的雅可比迭代法的计算公式为

2、 高斯-赛德尔迭代法(GS-迭代法)：

GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：

其余部分与雅克比迭代类似。

3、 逐次超松弛迭代法(SOR-迭代法)：

选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又(1)公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法。

其中：

由此，解的SOR-迭代法的计算公式为

(2)

观察(2)式，可得结论：

(1) 、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。

(2) 、当w>1时，称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代法。

5、 实验内容：

%1.J-迭代

function x1=jacobi(A,b,y);

m=input('请输入迭代次数m:');

eps=input('请输入精度eps:');

D=diag(diag(A));

L=triu(A)-A;

U=tril(A)-A;

M=D\\(L+U);

g=D\\b;

a=1;

k=0;

while a>eps

x2=M*x1+g;

a=norm(x2-x1,inf);

x1=x2;

k=k+1;

end

%输出方程组的近似解、精确值及误差

disp('近似解：');

disp(x1);

x2=x1-y;

a=norm(x2,inf);

fprintf('误差：%.6f;迭代次数：%d\\n',a,k);

%2.GS-迭代

function x1=G_S(A,b,y)

n=100;

m=input('请输入迭代次数m:');

eps=input('请输入精度eps:');

D=diag(diag(A));

L=triu(A)-A;

U=tril(A)-A;

%生成矩阵M,向量g

M=(D-L)\\U;

g=(D-L)\\b;

%迭代首项

x1=eye(n-1,1);

x2=eye(n-1,1);

for i=1:n-1

x1(i)=1;

x2(i)=0;

end

a=1;

k=0;

while a>eps

x2=M*x1+g;

a=norm(x2-x1,inf);

x1=x2;

k=k+1;

end

%输出方程组的近似解、精确值及误差

disp('近似解：')；

x2=x1-y;

a=norm(x2,inf);

fprintf('误差：%.4f;迭代次数：%d\\n',a,k);

%3.SOR-迭代

function a=p(A)

[n,n]=size(A);

x=eig(A);

a=0;

for i=1:n

b=abs(x(i));

if b>a

a=x(i);

end

end

a=abs(a);

function x1=SOR(A,b,y) %y为精确解

%超松弛迭代

D=diag(diag(A));

L=triu(A)-A;

U=tril(A)-A;

%求最佳松弛因子w

M=D\\(L+U);

w=p(M);

w=2/(1+sqrt(1-w^2));

if w<0||w>2

disp('迭代不收敛');

return;

end

%生成矩阵M,向量g

M=(D-w*L)\\((1-w)*D+w*U);

g=(D-w*L)\\b*w;

%进行迭代

w=1;

k=0;

%x1=eye(n,1);

while w>1e-6

x2=M*x1+g;

w=norm(x2-x1,inf);

x1=x2;

k=k+1;

end

%输出方程组的近似解、精确值及误差

disp('近似解：');

disp(x1);

x2=x1-y;

w=norm(x2,inf);

disp('误差:');

disp(w);

disp('迭代次数：');

disp(k);

6、 实验结果：

A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';

X1= G_S (A,b,[0 0 0]')

X1 =

-0.8750

7.1874

-5.5000

- 9 -

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