证明CLIQUE（团问题）是NP完全

Posted 2022-03-15 软件工程小施同学

一个图G的k团是G的k个顶点的集合，使得这个集合中每对顶点之间都有边。

CLIQUE问题是：给定一个图G和常数k，G有没有k团？

下面通过把顶点覆盖问题归约到CLIQUE来证明：CLIQUE是NP完全的。

【证明】

显然，CLIQUE是NP(NP定义: 可以在多项式时间验证结果正确性的问题)。

在给定的图G中猜测k个顶点的一个集合，并验证此集合中的任何两点之间都有边。

给定图G的顶点覆盖问题的一个实例（G，k），构造一个团问题实例（G’，n－k），其中

1. n是图G顶点的总个数。
2. G’是图G中边的补，即，G’有边（u，v）当且仅当图G没有边（u，v）。

令C是图G的顶点覆盖，且C中有k个顶点；

令C’是C中顶点的补，也就是G’的（n－k）团（其实，C是G的顶点覆盖，则G中任何一条边至少有一个顶点在C中，则C的补就是在G中不存在边的顶点的集合，而G’是G中边的补，因此C’是G’的（n－k）团）。

（当）假设C’不是G’的（n－k）团，则C’中存在顶点对（u，v），在G’中没有边，那么这条边就在G中，但由于u和v都不在C中，故产生矛盾，假设不成立。

（仅当）设（u，v）是G中的边，但没有被C覆盖，则u和v都在C’中，但边（u，v）不在G’中，故产生矛盾。

由此可以证明，CLIQUE是NP完全的。

利用归约来证明给定问题是NP完全的步骤：

设P1是已知的NP完全问题，P2是要证明的NP完全问题。

断言：P1当且仅当P2

（当）用P2来证明P1；

（仅当）用P1来证明P2。

一般都是用假设不成立而产生矛盾来证明问题的。

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