Java复习--树

Posted 2022-03-03 赵jc

Java复习--树

• 树
• • 树的概念
  • 树的相关性质
  • 树的表示形式
  • 树的应用
• 二叉树（非常重要☆）
• • 二叉树的概念
  • 二叉树的基本形态
  • 特殊的二叉树
  • • 满二叉树
    • 完全二叉树
  • 二叉树的性质
  • 二叉树的存储
  • • 顺序存储
    • 链式存储
  • 二叉树的遍历
  • • 前序遍历
    • 中序遍历
    • 后续遍历
    • 层序遍历
• 总结

树

树的概念

在学习二叉树之前我们先来了解一下树。
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根在上，而叶子在下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。

我们可以将树类比作我们生活中一个大家庭中的关系，假设四代同堂（爷爷爸爸自己儿子）这一个大家庭就是一个树（爷爷是根节点），爸爸 你自己和儿子也可以看做一个家庭，也可以当作一个树（在这棵树中爸爸是根节点）爷爷有爸爸和大伯两个儿子，以爸爸为根节点组成的家庭里（爸爸你自己儿子）不需要大伯的参与（这就是不相交）以此类推。

树的相关性质

• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 双亲节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node 
  int value;             // 树中存储的数据
  Node firstChild;       // 第一个孩子引用
  Node nextBrother;      // 下一个兄弟引用

树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二叉树（非常重要☆）

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上左子树和右子树的二叉树组成（递归定义）。
二叉树的特点：

• 1.每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
• 2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

二叉树的基本形态

上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右 子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。（二叉树共有五种形态）

特殊的二叉树

满二叉树

满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2的K次方-1，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 **要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
** 概念非常的饶，但其实也就是两点，这里来简单说明一下：
完

• 全二叉树如果有K层的话，它的K-1层必须是满的，
• 且第K层从左到右不能有空（假如只有右节点，没有左节点，这是不行的）

二叉树的性质

• 1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2的i-1次方 (i>0)个结点
• 2.若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2的k次方-1 (k>=0)
• 3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1（记住就完事了）
• 4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2（n+1） 上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
  右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储

顺序存储在下节的堆中会讲到，有兴趣的话可以去看看。

链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

孩子表示法用于构建一般的二叉树。孩子双亲表示法用于构建平衡树。

二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作 依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。（重中之中不会遍历，二叉树就学不好）

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种 规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代 表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

前序遍历

• NLR（根左右）：前序遍历(先序遍历)——访问顺序：根结点—>根的左子树—>根的右子树。

关键代码
递归实现

   // 前序遍历
    void preOrderTraversal(BTNode root) 
        if(root == null) return;
        System.out.print(root.val);
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    

非递归实现

    // 前序遍历 非递归实现
    void preOrderTraversalNor(BTNode root)
    
        if(root==null) return ;
        Stack<BTNode> stack=new Stack<>();
        BTNode cur=root;
        while(cur!=null||!stack.isEmpty()) 
            while (cur != null) 
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val);
                cur = cur.left;
            
            BTNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        
        System.out.println();
    

中序遍历

• LNR（左根右）：中序遍历——访问顺序：根的左子树—>根节点—>根的右子树。

关键代码
递归实现

// 中序遍历
    void inOrderTraversal(BTNode root) 
        if(root==null) return ;
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val);
        inOrderTraversal(root.right);

    

非递归实现

 // 中序遍历 非递归实现
    void inOrderTraversalNor(BTNode root)
        if(root==null) return ;
        BTNode cur=root;
        Stack<BTNode> stack=new Stack<>();
        while(cur!=null||!stack.isEmpty())
        
            while(cur!=null)
            
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            
            BTNode top=stack.pop();
            System.out.print(top.val);
            cur=top.right;
        
        System.out.println();
    

后续遍历

• LRN（左右根）：后序遍历——访问顺序：根的左子树—>根的右子树—>根节点。

关键代码
递归实现

   **// 后序遍历
    void postOrderTraversal(BTNode root) 
       if(root==null) return ;
       postOrderTraversal(root.left);
       postOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val);
    **

非递归实现

    // 后序遍历 非递归实现
    void postOrderTraversalNor(BTNode root)
        if(root==null) return ;
        BTNode cur=root;
        BTNode prev=null;
        Stack<BTNode> stack=new Stack<>();
        while(cur!=null||!stack.isEmpty())
        
            while(cur!=null)
            
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            
            BTNode top=stack.peek();
            if(top.right==null||top.right==prev)
            
                stack.pop();
                System.out.print(top.val);
                prev=top;

            else
                cur=top.right;
            
        
        System.out.println();
    

层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从 左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是 层序遍历。

关键代码

    // 层序遍历 借助队列
    void levelOrderTraversal(BTNode root) 
        if(root == null) return;
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) 
            BTNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val );
            if(cur.left != null) 
                queue.offer(cur.left);
            
            if(cur.right != null)
                queue.offer(cur.right);
            
        
        System.out.println();
    

总结

二叉树这里我们一定要将四种遍历搞明白，不然没辙。然后多加练习，相信自己一定可以掌握的。