二叉树概念及其三种遍历方式实现

Posted 2022-02-26 王嘻嘻-

目录

1. 树型结构

1.1 概念

1.2 概念（重要）

1.3 树的表示形式（了解）

1.4 树的应用

 2. 二叉树（重点）

 2.1 概念

二叉树的特点：

2.2 二叉树的基本形态

2.3 两种特殊的二叉树

2.4 二叉树的性质

2.5 二叉树的存储

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1 二叉树的遍历

2.6.2 二叉树的基本操作——代码实现

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1. 树型结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 树是递归定义的。

 

1.2 概念（重要）

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node 
   int value; // 树中存储的数据
   Node firstChild; // 第一个孩子引用
   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

 2. 二叉树（重点）

 2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉 树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

 上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右 子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

2.3 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果 一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全 二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k-1 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1<n,左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+1<n,右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点，500 个非叶子节点，1 个节点只有左孩子，0 个只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在下节介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。

// 孩子表示法
class Node 
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树


// 孩子双亲表示法
class Node 
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
  Node parent; // 当前节点的根节点

2.6 二叉树的基本操作

2.6.1 二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作 依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进 行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种 规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代 表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根 的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

2.6.2 二叉树的基本操作——代码实现

用三种遍历方式队以下二叉树进行遍历

 

package bin_tree;

//基础二叉树实现
//使用左右孩子表示法
public class MyBinTree 
    private static class TreeNode
        char val;
        //左子树根节点
        TreeNode left;
        //右子树根节点
        TreeNode right;
        public TreeNode(char val)
            this.val = val;
        
    

    //创建一个二叉树，返回根节点
    public static TreeNode build()
        TreeNode nodeA = new TreeNode('A');
        TreeNode nodeB = new TreeNode('B');
        TreeNode nodeC = new TreeNode('C');
        TreeNode nodeD = new TreeNode('D');
        TreeNode nodeE = new TreeNode('E');
        TreeNode nodeF = new TreeNode('F');
        TreeNode nodeG = new TreeNode('G');
        TreeNode nodeH = new TreeNode('H');
        nodeA.left = nodeB;
        nodeA.right = nodeC;
        nodeB.left = nodeD;
        nodeB.right = nodeE;
        nodeE.right = nodeH;
        nodeC.left = nodeF;
        nodeC.right = nodeG;
        return nodeA;
    

    //先序遍历：根左右
    //传入一颗二叉树的根节点，就可以按照先序遍历的方式来输出节点值
    public static void preOrder(TreeNode root)
        //边界条件
        if (root == null)
            return;
        
        System.out.print(root.val + " ");
        //按照先序遍历的方式递归访问左树
        preOrder(root.left);
        //按照先序遍历的方式递归访问右树
        preOrder(root.right);
    

    //中序遍历：左根右
    //传入一颗二叉树的根节点，就能按照中序遍历的方式来输出结果集
    public static void inOrder(TreeNode root)
        //边界条件
        if (root == null)
            return;
        
        //先递归访问左子树
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        //最后递归访问右子树
        inOrder(root.right);
    

    //后序遍历： 左右根
    public static void postOrder(TreeNode root)
        if (root == null)
            return;
        
        //先递归访问左子树
        postOrder(root.left);
        //在递归访问右子树
        postOrder(root.right);
        //最后访问根节点
        System.out.print(root.val + " ");
    

    public static void main(String[] args) 
        TreeNode root = build();
        System.out.println("先序遍历的结果为：");
        preOrder(root);//A B D E H C F G
        System.out.println();
        System.out.println("中序遍历的结果为: ");
        inOrder(root);//D B E H A F C G
        System.out.println();
        System.out.println("后序遍历的结果为： ");
        postOrder(root);//D H E B F G C A
        System.out.println();
    

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本小节完^_^