ch02_时间序列的预处理

Posted 张欣-男

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了ch02_时间序列的预处理相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

第二章 时间序列的预处理

文章目录

2.1 平稳性检测

2.1.1 特征统计量

2.1.1.1 概率分布

时间序列 X t \\X_t\\ Xt​的概率分布族。
实际应用有局限性。

2.1.1.2 特征统计量

  1. 均值函数
    μ t = E X t = ∫ − ∞ ∞ x d F t ( x ) \\mu_t = EX_t=\\int_-\\infty^\\infty xdF_t(x) μt​=EXt​=∫−∞∞​xdFt​(x)
    均值函数序列 μ t , t ∈ T \\\\mu_t, t \\in T\\ μt​,t∈T，反映时间序列 X t \\X_t\\ Xt​每时每刻的平均水平。

  2. 方差函数
    D X t = E ( X t − μ t ) 2 = ∫ − ∞ ∞ ( x − μ t ) 2 d F t ( x ) DX_t = E(X_t - \\mu_t)^2 = \\int_-\\infty^\\infty (x-\\mu_t)^2 dF_t(x) DXt​=E(Xt​−μt​)2=∫−∞∞​(x−μt​)2dFt​(x)
    当t取遍所有的观察时刻时，可得到一个方差序列 σ t 2 , t ∈ T \\ \\sigma_t^2, t\\in T \\ σt2​,t∈T。

  3. 自协方差函数
    γ ( t , s ) = E ( X t − μ t ) ( X s − μ s ) = E ( X t X s ) − E ( X t ) E ( X s ) \\gamma(t,s) = E(X_t - \\mu_t)(X_s - \\mu_s) = E(X_t X_s) - E(X_t) E(X_s) γ(t,s)=E(Xt​−μt​)(Xs​−μs​)=E(Xt​Xs​)−E(Xt​)E(Xs​)

  4. 自相关系数（ACF）
    ρ ( t , s ) = γ ( t , s ) D X t ⋅ D X s \\rho(t,s) = \\frac \\gamma(t,s) \\sqrt D X_t \\cdot D X_s ρ(t,s)=DXt​⋅DXs​ ​γ(t,s)​

【注意】
通常的协方差函数和相关系数度量的是两个不同事件彼此之间的相互影响程度。
而自协方差函数和自相关系数度量的是同一个事件在两个不同时期之间的相关程度，即度量自己过去的行为对自己现在的影响。

2.1.2 平稳时间序列的定义

平稳代表没有明显趋势且波动范围有限。

  1. 严平稳
    严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
    定义1：

    设 X t \\X_t\\ Xt​ 为一时间序列， ∀ m ∈ Z + \\forall m \\in Z^+ ∀m∈Z+， ∀ t 1 , t 2 , . . . , t m ∈ T \\forall t_1,t_2,...,t_m \\in T ∀t1​,t2​,...,tm​∈T，则 ∀ τ ∈ Z \\forall \\tau \\in Z ∀τ∈Z, 有 F t 1 , t 2 , . . . , t m ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) = F t 1 + τ , t 2 + τ , . . . , t m + τ ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) F_t_1, t_2, ..., t_m(x_1, x_2, ..., x_m) = F_t_1+\\tau, t_2+\\tau, ..., t_m+\\tau(x_1, x_2, ..., x_m) Ft1​,t2​,...,tm​​(x1​,x2​,...,xm​)=Ft1+τ​,t2+τ​,...,tm+τ​​(x1​,x2​,...,xm​)

  2. 宽平稳
    宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。