关于傅里叶变换：时移与频移解读之解读
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于傅里叶变换：时移与频移解读之解读相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
简 介： 本文讨论了傅里叶变换中相互关联的三个性质，时移特性、频移特性和尺度特性。对于信号与系统的理解需要能够在经典理论、物理直观以及数值计算三个方面进行深入挖掘和理解，这样在未来的应用中才能够更好的透过现象看本质。
关键词： FFT，时移特性，频移特性，尺度特性
§00 背 景
今天在 西土城山羊卷 的博客看到她在其博文 傅里叶变换：时移与频移性质解读｜CSDN创作打卡 中谈到对于傅里叶变换中的时移和频移的理解。其中两个观点还是蛮有新意的。
§01 时移特性
傅里叶变换的时移特性表面了信号 f ( t ) f\\left( t \\right) f(t) 经过延迟时间 t 0 , t 0 ≥ 0 t_0 ,\\,\\,t_0 \\ge 0 t0,t0≥0 之后，形成信号 f ( t − t 0 ) f\\left( t - t_0 \\right) f(t−t0) 。那么它对应的傅里叶变换 F t 0 ( ω ) F_t0 \\left( \\omega \\right) Ft0(ω) 与原始信号 f ( t ) f\\left( t \\right) f(t) 对应的频谱 F ( ω ) F\\left( \\omega \\right) F(ω) 之间的关系为： F t 0 ( ω ) = F ( ω ) ⋅ e − j ω t 0 F_t0 \\left( \\omega \\right) = F\\left( \\omega \\right) \\cdot e^ - j\\omega t_0 Ft0(ω)=F(ω)⋅e−jωt0
1.1 性质证明
证明这个性质非常容易，只要在傅里叶变换的定义上，通过 变量替换 便可以在三步之内完成证明。
根据傅里叶变换定义：
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
F\\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( t \\right)e^ - j\\omega t dt
F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
那么对于：
F
t
o
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
−
t
0
)
e
−
j
ω
t
d
t
F_to \\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( t - t_0 \\right)e^ - j\\omega t dt
Fto(ω)=∫−∞∞f(t−t0)e−jωtdt
利用：
t
−
t
0
→
l
t - t_0 \\to l
t−t0→l ，原来表达式可以写为：
F
t
0
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
l
)
e
−
j
ω
(
l
+
t
0
)
d
l
F_t0 \\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^ + \\infty f\\left( l \\right)e^ - j\\omega \\left( l + t_0 \\right) dl
Ft0(ω)=∫−∞+∞f(l)e−jω(l+t0)dl
=
[
∫
−
∞
∞
f
(
l
)
e
−
j
ω
l
d
l
]
⋅
e
−
j
ω
t
0
=
F
(
ω
)
⋅
e
−
j
ω
t
0
= \\left[ \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( l \\right)e^ - j\\omega l dl \\right] \\cdot e^ - j\\omega t_0 = F\\left( \\omega \\right) \\cdot e^ - j\\omega t_0
=[∫−∞∞f(l)e−jωldl]⋅e−jωt0=F(ω)⋅e−jω以上是关于关于傅里叶变换：时移与频移解读之解读的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质 | 证明过程 )