关于傅里叶变换:时移与频移解读之解读

Posted 卓晴

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于傅里叶变换:时移与频移解读之解读相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

简 介: 本文讨论了傅里叶变换中相互关联的三个性质,时移特性、频移特性和尺度特性。对于信号与系统的理解需要能够在经典理论、物理直观以及数值计算三个方面进行深入挖掘和理解,这样在未来的应用中才能够更好的透过现象看本质。

关键词 FFT时移特性频移特性尺度特性

背 景 目 录
Contents
时移特性 性质证明 物理解释 频移特性 性质证明 物理解释 尺度变换对应
的频率变化
变换总结

 

§00   景

  今天在 西土城山羊卷 的博客看到她在其博文 傅里叶变换:时移与频移性质解读|CSDN创作打卡 中谈到对于傅里叶变换中的时移和频移的理解。其中两个观点还是蛮有新意的。

 

§01 移特性


  里叶变换的时移特性表面了信号 f ( t ) f\\left( t \\right) f(t) 经过延迟时间 t 0 ,    t 0 ≥ 0 t_0 ,\\,\\,t_0 \\ge 0 t0,t00 之后,形成信号 f ( t − t 0 ) f\\left( t - t_0 \\right) f(tt0) 。那么它对应的傅里叶变换 F t 0 ( ω ) F_t0 \\left( \\omega \\right) Ft0(ω) 与原始信号 f ( t ) f\\left( t \\right) f(t) 对应的频谱 F ( ω ) F\\left( \\omega \\right) F(ω) 之间的关系为: F t 0 ( ω ) = F ( ω ) ⋅ e − j ω t 0 F_t0 \\left( \\omega \\right) = F\\left( \\omega \\right) \\cdot e^ - j\\omega t_0 Ft0(ω)=F(ω)ejωt0

1.1 性质证明

  证明这个性质非常容易,只要在傅里叶变换的定义上,通过 变量替换 便可以在三步之内完成证明。

  根据傅里叶变换定义: F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F\\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( t \\right)e^ - j\\omega t dt F(ω)=f(t)ejωtdt
  那么对于: F t o ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t − t 0 ) e − j ω t d t F_to \\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( t - t_0 \\right)e^ - j\\omega t dt Fto(ω)=f(tt0)ejωtdt
  利用: t − t 0 → l t - t_0 \\to l tt0l ,原来表达式可以写为: F t 0 ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( l ) e − j ω ( l + t 0 ) d l F_t0 \\left( \\omega \\right) = \\int_ - \\infty ^ + \\infty f\\left( l \\right)e^ - j\\omega \\left( l + t_0 \\right) dl Ft0(ω)=+f(l)ejω(l+t0)dl = [ ∫ − ∞ ∞ f ( l ) e − j ω l d l ] ⋅ e − j ω t 0 = F ( ω ) ⋅ e − j ω t 0 = \\left[ \\int_ - \\infty ^\\infty f\\left( l \\right)e^ - j\\omega l dl \\right] \\cdot e^ - j\\omega t_0 = F\\left( \\omega \\right) \\cdot e^ - j\\omega t_0 =[f(l)ejωldl]ejωt0=F(ω)ejω以上是关于关于傅里叶变换:时移与频移解读之解读的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质示例 )

傅里叶变换

数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质 | 证明过程 )

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数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换时移性质示例 )

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