信号与系统学习记录2——1.2基本信号

Posted 2022-02-12 康娜喵

零.前言

按照PPT的分章来决定每篇的内容长度与分节。

一.阶跃函数ε

1.1 定义

1.2 性质

阶跃函数的积分是斜坡函数，即：

二.冲激函数δ

2.1 定义

其推导过程为：

2.2 关系

2.3 作用

冲击函数可以描述间断点的导数

三.冲激函数的广义函数定义

3.1 函数的定义

3.1.1 普通函数的定义

就我们学的那种 映射的概念。

3.1.2 广义函数的定义

很类似于普通函数，但是广义函数的自变量换成了检验函数：φ(t)

当然，定义式不唯一。

3.2 冲激函数的广义函数定义

我再简言之：也就是说，一个冲激函数作用于一个检验函数（其实就是被作用的函数），两个函数的积的积分刚好能等于检验函数t=0的值。
也就是说，满足这个定义式，且对任意检验函数都有用的函数，就可以叫冲激函数了。
如果还有不懂可以看后面的一节内容

四.冲激函数的取样性质

4.1 零点取样

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t)=f(0)\cdot \delta (t) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot \delta (t)dt=f(0)\cdot {\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=f(0) \end{gathered}$$
注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=0
例题：

• 如果积分区域不包含t=0，则结果为0
• 若包含，则等于f(t=0)，因为${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$

4.2 延迟取样

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t-a)=f(a)\cdot \delta (t-a) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot \delta (t-a)dt=f(a) \end{gathered}$$

注意：积分区间要包含冲激所在的时刻t=a
例题：注意推导第三个公式，如何表示成ε(t)

• 如果积分区域不包含t=a，则结果为0

五.冲激函数的导数

5.1 冲激偶δ’(t)

5.2 定义

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0)$$
当然，同理有：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t-a)dt=-f^{\prime }(a)$$
例题：

5.3 n阶导

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t){\delta }^n(t)dt=(-1{)}^n{f}^n(0)$$

六.冲激函数的尺度变换

6.1 定义

$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
其n阶导的变换，也是通式：
$${\delta }^n(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^n(t)$$
证明（不需要记）：

6.2 推广

6.3 例题

这样记：δ(t-a)取样f(a), δ'(t-a)取样-f(a)

七.单位脉冲序列与单位阶跃序列

类比连续函数，离散的概念定义一样：